Capítulo 9

Cálculo Vira Álgebra

Podemos transformar cálculo em álgebra?

Inclinações viram multiplicação

Mika: Lembra do post-it do Capítulo 4? Para $e^{at}$ , tirar a inclinação era só $\times\, a$ . Agora veja o que a sonda faz com uma inclinação.

Palavras novas

$f'$ e $f''$: Abreviação de $\frac{df}{dt}$ , a inclinação de $f$ , e a inclinação dessa inclinação. O Capítulo 7 escrevia com pontinhos, $\dot x$ e $\ddot x$ .
$\mathcal{L}\{f\}$: "A transformada de $f$ ": o mesmo que $F(s)$ , prático quando $f$ é uma expressão inteira.
Letras maiúsculas: Uma letra maiúscula é a transformada da sua letra minúscula: $F$ para $f$ , $H$ para a altura $h$ , $X$ para $x$ .

Aqui está a propriedade que faz tudo valer a pena. O que acontece com a transformada quando tiramos a inclinação do sinal? Tente com $f = e^{at}$ . Sua inclinação é $a e^{at}$ (Capítulo 4), então

\begin{aligned} \mathcal{L}\{f'\} &= \frac{a}{s-a} = \frac{s}{s-a} - 1 \\ &= s\,F(s) - f(0) \end{aligned}

A inclinação virou multiplicação por $s$ , menos o valor inicial $f(0)$ . Cálculo virou álgebra!

Capítulo 9: Cálculo Vira Álgebra ↗

Theo: Calma. Isso é um truque que funciona para $e^{at}$ porque $e^{at}$ é especial. Agora você vai me dizer que é uma regra de consulta que devemos memorizar. Não acredito nisso para qualquer curva.

June: Então vamos testar na curva mais feia que você conseguir desenhar.

Desenhe o sinal que quiser no primeiro gráfico (ou escolha uma predefinição). Calculamos a inclinação dele e depois calculamos os dois lados da regra com a máquina de área: a transformada da inclinação e $s\,F(s) - f(0)$ . O segundo gráfico mostra esses dois lados para cada $s$ .

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Theo: Eles batem, até com o meu rabisco torto. No fim das contas não é uma regra de consulta: é o que a máquina de área faz com qualquer inclinação.

Aqui está a álgebra que faltava, em forma de desenho. Um produto muda por dois motivos. $f$ muda enquanto a sonda fica parada, e a sonda muda enquanto $f$ fica parado. Imagine um retângulo com lados $f$ e $e^{-st}$ : ele cresce ao longo de um lado, depois ao longo do outro. Esse passo tem nome: integração por partes.

\big(f\,e^{-st}\big)' = f'\,e^{-st} - s\,f\,e^{-st}

Some essas mudanças de 0 a ∞ (Capítulo 3: a área desfaz a inclinação) e você obtém o valor no fim menos o valor no começo. É isso que o colchete $\big[\,\cdot\,\big]_0^\infty$ quer dizer:

\big[f\,e^{-st}\big]_0^\infty = \int_0^\infty f'\,e^{-st}\,dt - s\,F(s)

Lá no fim a sonda já espremeu tudo até zero (desde que $s$ vença o crescimento do sinal), então o lado esquerdo é só $0 - f(0)$ . Passe $s\,F(s)$ para o outro lado e aí está a regra.

Theo: Então $f(0)$ não é gambiarra. É o retângulo com que começamos.

Aplique a mesma regra mais uma vez, agora em $f'$ , cujo valor inicial é $f'(0)$ , a velocidade inicial:

\begin{aligned} \mathcal{L}\{f''\} &= s\,\mathcal{L}\{f'\} - f'(0) \\ &= s\big(s\,F(s) - f(0)\big) - f'(0) \\ &= s^2 F(s) - s\,f(0) - f'(0) \end{aligned}

Nossa própria tabela

Os livros imprimem uma "tabela de transformadas de Laplace" como se tivesse caído do céu. Vamos conquistar a nossa, linha por linha. Cada linha é apenas a máquina de sondar e calcular área aplicada a um sinal, com uma verificação de que a fórmula concorda com a área real.

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Mika: A linha do seno é a minha favorita. Um seno é só dois giradores gêmeos, e a transformada de cada girador é a linha da exponencial com $a = \pm i\omega$ . O Capítulo 6 somou os gêmeos para obter um cosseno. Subtraia em vez disso e as partes ao longo se cancelam, sobrando $2i\sin\omega t$ . É daí que vem o $2i$ ! E multiplicar os denominadores dos gêmeos é o produto espelhado do Capítulo 7, $(s - i\omega)(s + i\omega) = s^2 + \omega^2$ .

(Para $a$ complexo, a linha da exponencial continua valendo desde que a parte esquerda-direita de $s$ vença a parte esquerda-direita de $a$ . Para os gêmeos, isso é simplesmente $\sigma > 0$ .)

E a última linha não precisou de trabalho novo nenhum: multiplicar por $e^{-\sigma t}$ simplesmente desloca $s$ para $s+\sigma$ . Quatro linhas, todas deduzidas, todas conferidas.

Mais uma regra que viemos usando em silêncio. A máquina de área é justa: deixe um sinal 3 vezes mais alto e cada fatia da área fica 3 vezes mais alta, então a área inteira também. Some dois sinais e as áreas se somam. Os matemáticos chamam isso de linearidade.

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June: É isso que nos deixa transformar uma equação um termo de cada vez, com os números da frente e tudo. E a equação do drone é exatamente esse tipo de soma. Vamos usar a tabela!

Desfazendo um denominador comum

Theo: Toda resposta que vamos obter sai como uma fração grande. Mas nossa tabela só conhece as pequenas: $\frac1s$ , $\frac{1}{s-a}$ , os senos. Como quebramos uma fração grande em pedaços da tabela?

Na escola, você somava frações achando um denominador comum. Aqui vamos de trás para a frente: partimos de uma fração só e achamos os pedacinhos que somados dão ela. Isso se chama dividir em frações parciais:

\frac{1}{s} + \frac{1}{s+2} = \frac{2s + 2}{s\,(s+2)} \qquad\text{então}\qquad \frac{2s+2}{s\,(s+2)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+2}

O que vai em cima de cada pedaço? **Uma incógnita para cada potência de $s$ no seu denominador.** Um denominador como $s$ ou $s + 2$ ganha um número simples. Um denominador quadrático como $s^2 + 2s + 5$ ganha $B\,s + C$ : duas incógnitas, porque numa quadrática cabem duas.

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June: Cada controle deslizante move um pedaço, e no tempo os pedaços também simplesmente se somam. O pedaço $A$ é um degrau; o pedaço quadrático é uma oscilação que vai sumindo. E a fração grande à direita é o que eles somam.

Para achar os números dos pedaços de primeira potência existe um atalho, o truque do encobrimento. Multiplique pelo denominador do pedaço e depois ponha em $s$ o valor que o zera: todos os outros pedaços somem e só sobra o que está em cima dele.

A = \Big[s \cdot \frac{2s+2}{s\,(s+2)}\Big]_{s=0} = \frac{2}{2} = 1, \qquad B = \Big[(s+2) \cdot \frac{2s+2}{s\,(s+2)}\Big]_{s=-2} = \frac{-2}{-2} = 1

Um denominador quadrático precisa de mais um passo antes que a tabela consiga lê-lo: empurre-o para a forma $(s + \sigma)^2 + \omega^2$ completando o quadrado, pegando a metade do número do meio e elevando ao quadrado. Assim $s^2 + 2s + 5 = (s + 1)^2 + 4$ : um cosseno e um seno que decaem, com $\sigma = 1$ e $\omega = 2$ .

Resolvendo o drone com álgebra

Aqui está o drone do Capítulo 2 com controle P, desta vez sem empuxo de pairar de graça, começando numa plataforma de 1 m. Em $t=0$ nós o soltamos e pedimos 2 m. No cálculo a partir desse instante, o novo valor de referência e a força constante da gravidade se transformam cada um como um degrau:

m\,\out{h}'' + c\,\out{h}' = \eff{K_p}\,(\sp{2} - \out{h}) - \dis{m g}

Passo 1: transforme cada termo. Como as áreas escalam e somam (a seção da tabela), podemos transformar cada termo sozinho. Um degrau de tamanho $r$ vira $r/s$ , e inclinações viram multiplicação por $s$ . Foi isto que escrevemos:

m\,s^2\out{H} + c\,s\,\out{H} = \eff{K_p}\Big(\frac{\sp{2}}{s} - \out{H}\Big) - \frac{\dis{m g}}{s}

Passo 2: agora é álgebra. Junte $\out{H}$ de um lado e depois divida:

\begin{gathered} \begin{aligned} &(m s^2 + c s + \eff{K_p})\,\out{H} \\ &\quad = \frac{\eff{K_p}\,\sp{2} - \dis{m g}}{s} \end{aligned} \\[8pt] \out{H}(s) = \frac{N(s)}{s\,\big(m s^2 + c s + \eff{K_p}\big)} \\[8pt] N(s) = \eff{K_p}\,\sp{2} - \dis{m g} \end{gathered}

Mika: Olha só. Nenhuma inclinação sobrou, só letras sendo embaralhadas. Theo, seu caderno parou de soltar fumaça.

Passo 3: divida em pedaços da tabela, como na seção acima: um número em cima do pedaço de $s$ , e $B s + C$ em cima do quadrático:

\out{H}(s) = \frac{A}{s} + \frac{B s + C}{m s^2 + c s + \eff{K_p}}

Como encontramos $A$ , $B$ e $C$ ? Multiplique os dois lados pelo denominador comum $s\,(m s^2 + c s + \eff{K_p})$ :

\begin{aligned} N(s) &= A\,(ms^2+cs+\eff{K_p}) \\ &\quad + s\,(Bs+C) \end{aligned}

O truque do encobrimento

Existe um atalho para $A$ . Multiplique $\out{H}$ por $s$ e todos os pedaços, menos $A/s$ , ainda têm um $s$ em cima. Faça $s = 0$ e todos somem. Só $A$ sobrevive:

A = \Big[s\,\out{H}(s)\Big]_{s=0} = \frac{N(0)}{\eff{K_p}} = \sp{2} - \frac{\dis{mg}}{\eff{K_p}}

E $s\,\out{H}$ perto de $s = 0$ é onde o drone vai parar a longo prazo, se é que ele se acomoda. A altura final sai direto da álgebra, sem precisar de simulação.

Mika: Peraí. A gente consegue ler onde ele se estabiliza sem resolver nada? Isso parece trapaça.

Theo: É trapaça, a não ser que todo o resto desapareça. Aqui os outros pedaços são a oscilação própria do drone, e eles morrem, então $A$ é o que sobra. Se o denominador tivesse uma raiz na metade direita, $A/s$ continuaria na fração, mas um pedaço crescente o engoliria e o drone nunca se acomodaria em lugar nenhum. O Capítulo 10 mostra como conferir.

Depois compare os dois lados, uma potência de $s$ de cada vez. Os números soltos dão $A$ , os termos em $s^2$ dão $B$ e os termos em $s$ dão $C$ :

\begin{gathered} A = \sp{2} - \frac{\dis{mg}}{\eff{K_p}} \\ B = -m\,A, \qquad C = -c\,A \end{gathered}

Nenhuma física nova aparece aqui: só desfizemos um denominador comum para chegar a pedaços que nossa tabela consegue levar de volta ao tempo. Repare que $A$ não se importa com onde o drone começou.

Theo: E não precisamos chutar $e^{st}$ nem uma vez. A tabela chutou por nós.

Passo 4: procure cada pedaço na tabela que acabamos de deduzir: $A/s$ é um degrau, e o segundo pedaço é um cosseno que decai mais um seno que decai (o parêntese abaixo mostra como ele se encaixa nessas linhas). Leia $h(t)$ .

Completar o quadrado: o Capítulo 7 estava escondido no denominador

O segundo pedaço ainda não está na nossa tabela: o denominador dele é uma quadrática comum. Empurre-o para a forma $(s+\sigma)^2 + \omega^2$ (completando o quadrado, como na seção acima) e ele bate exatamente com as linhas do seno que decai. O numerador se divide do mesmo jeito, uma parte para a linha do cosseno e outra para a linha do seno:

\begin{gathered} 0{,}5\,s^2 + s + \eff{K_p} = 0{,}5\,\big((s+1)^2 + \omega_d^2\big) \\ \omega_d^2 = 2\eff{K_p} - 1 \\[6pt] B\,s + C = B\,(s+1) + (C - B) \end{gathered}

Então $\sigma = 1$ , que é o $\zeta\omega_n$ do Capítulo 7 para o nosso drone, e $\omega$ é a oscilação amortecida $\omega_d$ .

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Theo: Espera. O denominador é zero exatamente nos dois pontos que colocamos no mapa no Capítulo 7! Guarda essa ideia.

June: Vamos conferir com a simulação!

Preveja primeiro! Colocamos o drone numa plataforma de 1 m e rodamos nossa fórmula ao lado da simulação. O que vamos ver?

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Mika: Opa. A fórmula começa em zero, mas o drone começa na plataforma a 1 m. A álgebra está mentindo?

Theo: A álgebra está certa. Nós mentimos. Olhe o Passo 1: escrevemos $\mathcal{L}\{h''\} = s^2 H$ e $\mathcal{L}\{h'\} = s\,H$ , e jogamos fora cada $h(0)$ . É exatamente o pedaço que lembra da plataforma.

Ligue a chave para devolver os termos de altura inicial e veja os Passos 1 e 2 e os coeficientes acima mudarem junto. A fórmula tracejada e a simulação azul agora ficam exatamente uma em cima da outra: a maior diferença é menor que um milionésimo de metro, só arredondamento. Mude $\eff{K_p}$ ou a altura da plataforma e elas continuam concordando.

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Theo: No Capítulo 2 tivemos que voar com o drone para achar o desvio residual. Aqui ele simplesmente caiu de uma fração.

O que sabemos agora

O que descobrimos

Inclinações viram multiplicação: $\mathcal{L}\{f'\} = sF(s) - f(0)$ . O $f(0)$ lembra onde o sinal começou. Esqueça-o e sua resposta começa no lugar errado.
Deduzimos nossa própria tabela: $1/s$ , $1/(s-a)$ , $\omega/(s^2+\omega^2)$ e a versão deslocada para senos que decaem. As áreas escalam e somam, então podemos transformar uma equação termo a termo.
Frações grandes se dividem em frações parciais: uma incógnita por potência de $s$ em cada denominador, achadas com o truque do encobrimento. Um denominador quadrático vira um cosseno e um seno que encolhem.
Transforme, faça a álgebra, divida em pedaços da tabela, leia a resposta. O pedaço $A/s$ é onde o drone se estabiliza, com desvio residual e tudo. Ele bate exatamente com a simulação, desde que você mantenha os valores iniciais.

June: "Toda vez que resolvemos algo, a resposta era (algo) ÷ (um polinômio em s), e o comportamento do drone vinha de onde a parte de baixo é zero. E se essa fração for o drone?"

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