Capítulo 8

A Sonda de Laplace

Uma única área medida pode nos dizer onde um sinal vive?

Uma sonda para sinais

Theo: Toda vez que resolvíamos algo, nós chutávamos $e^{st}$ , substituíamos e rezávamos. Agora adicione gravidade, uma altura inicial, um controlador… meu caderno está pegando fogo.

June: Quando eu construo coisas, o truque é sempre transformar um trabalho difícil em um fácil. Difícil: cálculo com inclinações de inclinações. Fácil: álgebra simples com $+$ , $-$ , $\times$ , $\div$ .

Mika: Então precisamos de uma máquina que come uma curva e cospe algo onde inclinações se tornam multiplicação? Isso existe?

Existe, e dá para construir com coisas que já temos. A ideia é esta. Pegue qualquer sinal, qualquer curva que muda com o tempo, $f(t)$ . Multiplique por uma sonda, a exponencial $e^{-st}$ do Capítulo 4 (para $s$ positivo ela encolhe). Depois meça a área total sob o produto (a área acumulada do Capítulo 3), até $t = \infty$ .

F(s) = \int_0^\infty \out{f(t)}\; e^{-st}\,dt

É só isso. Entra um número $s$ , sai uma área. Tente valores diferentes de $s$ e você ganha uma curva nova, $F(s)$ . Essa curva é a transformada de Laplace de $f$ : uma impressão digital do sinal. Dois sinais (razoáveis) diferentes nunca têm o mesmo $F(s)$ , e é por isso que depois vamos poder consultar respostas de trás para a frente.

Preveja primeiro! Pegue o sinal mais simples, um degrau: $f(t) = 1$ para sempre. À medida que tornamos $s$ maior, o que acontece com a área sob $1 \cdot e^{-st}$ ?

Capítulo 8: A Sonda de Laplace ↗

Percorra $s$ no widget e os pontos desenham exatamente esse $1/s$ . Teste os outros sinais também. Um sinal crescente $e^{0{,}5t}$ só tem área finita quando a sonda encolhe mais rápido do que o sinal cresce, ou seja, quando $s > 0{,}5$ . Abaixo disso, a área dispara para o infinito. A oscilação $\sin 2t$ falha de outro jeito: em $s = 0$ a área dela fica balançando entre 0 e 1 (a área negativa do Capítulo 3 cancelando a positiva) e nunca se decide por um número.

A área total precisa se estabilizar num valor finito, para que cada $s$ ganhe um único número. Se a sonda some devagar demais, a área continua crescendo e aquele $s$ fica sem resposta.

A transformada grita onde o sinal vive

Vamos olhar mais de perto $f(t) = e^{at}$ . Sonde com $e^{-st}$ e o produto é $e^{(a-s)t}$ , uma exponencial simples. Enquanto $s > a$ ela some, e a área dela é $\frac{1}{s-a}$ (vamos deduzir isso direitinho quando montarmos nossa tabela, no próximo capítulo).

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Mika: À medida que $s$ se aproxima de $a$ , o número fica enorme! Em $s = a$ a sonda cancela exatamente o crescimento, o produto é plano para sempre, e a área é infinita.

Theo: Então a transformada explode exatamente no $s$ onde o sinal vive. Se você me desse apenas $F(s)$ , eu poderia encontrar o $a$ do sinal procurando onde ele explode.

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Mika: É como um alarme de fumaça. Leve $s$ em direção a $a$ e ele apita cada vez mais alto. Pise em cima de $a$ e ele nunca para.

Agora deixe $s$ complexo, $s = \sigma + i\omega$ , igual aos nossos números que giram do Capítulo 5. Pegue como sinal o girador da mola do Capítulo 6, $e^{2it}$ (metade do seu par de gêmeos). A sonda $e^{-st}$ o encolhe (essa é a parte esquerda-direita, $\sigma$ ) e o gira para trás (essa é a parte cima-baixo, $\omega$ ). Abaixo, os pedacinhos de área do produto são somados como setas, a ponta de uma no início da outra, uma seta para cada quarto de segundo. Observe o total acumulado.

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June: Quando a sonda gira exatamente a 2, o sinal para de girar, todas as peças apontam na mesma direção e o total fica o maior possível: $1/\sigma$ , que dispara para o infinito quando σ encolhe até 0. Quando elas não coincidem, as setas se enrolam e se cancelam.

Mesma lição, uma dimensão acima: a transformada explode no complexo $s$ onde o sinal vive. É por isso que de agora em diante vamos desenhar cada $s$ num mapa com $\sigma$ na horizontal e $\omega$ na vertical. Nosso "mapa de $s$ " do Capítulo 6 finalmente ganha seu nome adulto: o plano s.

Palavras novas

O plano s: O mapa dos números complexos $s = \sigma + i\omega$ . Esquerda significa encolher, direita significa crescer, cima e baixo significa girar. Cada sinal $e^{st}$ vive num ponto dele, e sua transformada explode ali.

O que sabemos agora

O que descobrimos

A transformada de Laplace é uma sonda: multiplique por $e^{-st}$ e meça a área total. $F(s) = \int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$ .
Ela explode exatamente onde o sinal vive: $e^{at}$ dá $1/(s-a)$ , que vai para o infinito em $s = a$ . Para $s$ complexo, a sonda desenrola sinais que giram. Traçamos tudo isso no plano s.
Uma área sobre o para sempre ainda pode ser finita, desde que a cauda afine rápido o bastante. Se a sonda some mais devagar do que o sinal cresce, aquele $s$ não tem transformada nenhuma.

Theo: "Então a sonda nos diz onde um sinal vive. Mas a gente queria que inclinações virassem multiplicação. O que a sonda faz com uma inclinação?"

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