Capítulo 12

De volta ao chuveiro

Por que oscilamos, e quão perto da borda estamos?

O chuveiro, com novos olhos

June: Coloquei o PID do nosso drone no chuveiro (a mesma sensação ágil, ajustada para unidades de manopla). Oscilou quente, frio, quente… igualzinho à Mika no Capítulo 0. O drone nunca fez isso!

Theo: O drone não tem grande atraso. O chuveiro tem 2,5 segundos de tubulação. Vamos finalmente descobrir o que um atraso faz.

O chuveiro tem duas partes lentas: o cano, um atraso puro de 2,5 s, e o suavizador, a cabeça e as paredes do cano esquentando com a constante de tempo do Capítulo 3, $\tau = 1$ s (depois de 1 s ele já fechou 63% da distância até uma nova temperatura).

Primeiro, uma confissão sobre a "mão normal" do Capítulo 0. Ela girava a manopla a uma velocidade proporcional ao quão errada a água parecia: velocidade da manopla $= k\cdot\err{e}$ , com $k = 0{,}8\,\%$ de manopla por segundo por °C. Uma velocidade proporcional ao erro significa que a posição da manopla é o acúmulo de erros passados. Isso é um controlador I, com $K_i = k$ .

Mika: Espera, então no Capítulo 0 eu era um controlador PID? Bem, um controlador I. Um muito ansioso.

Atraso é uma defasagem na oscilação

Theo: Eu ainda acho que um atraso só deixa tudo mais lento. Ele não deveria ser capaz de tornar nada instável.

Vamos isolar primeiro o atraso puro do cano. Imagine uma onda senoidal na entrada do cano viajando até o chuveiro sem ser suavizada: a saída tem a mesma forma, mas chega 2,5 s depois. Esse atraso equivale a quanto, em relação a uma oscilação?

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Theo: Espera. Numa oscilação de 5 segundos, a água quente chega exatamente quando a manopla pede frio. Isso não é mais lento. Isso é ao contrário.

O atraso do cano continua sendo 2,5 s, mas o seu atraso de fase depende de quão rápido a onda oscila. Chame o atraso de fase de $\phi$ e o atraso de $L$ . Se uma oscilação leva $T$ segundos (aqui $T$ é um tempo, não uma temperatura), sua velocidade angular é $\omega=2\pi/T$ radianos por segundo. Um atraso de fase positivo significa que a saída vem atrás da entrada. Engenheiros escrevem um atraso de fase como um ângulo negativo, por isso os gráficos abaixo descem.

Uma oscilação inteira é uma volta completa do girador do Capítulo 5: 360°, ou 2π radianos. Então o que importa é que fração da oscilação o atraso cobre: $L/T$ .

\phi = \underbrace{\frac{L}{T}}_{\text{fração da oscilação}}\cdot 360^\circ = \omega L \text{ radianos},\qquad \omega = \frac{2\pi}{T}

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Numa oscilação de 5 segundos, 2,5 s é meia oscilação: 180°. Neste modelo de atraso puro, cada crista da saída cai em cima de um vale da entrada. O suavizador do chuveiro também encolhe as oscilações rápidas; vamos acrescentá-lo a seguir.

Mika: Então os mesmos 2,5 s são um empurrãozinho para uma oscilação preguiçosa e uma virada completa para uma rápida. O cano nunca muda. A oscilação, sim!

A sonda vê o atraso

A sonda do Capítulo 8 dá o mesmo fator para qualquer sinal, não só para um girador. Um sinal que chega $L$ segundos atrasado começa a acumular área $L$ segundos depois, e a essa altura a sonda já encolheu por $e^{-sL}$ . Antes de chegar, o sinal atrasado é zero, então faça $u = t - L$ :

\int_0^\infty f(t-L)\,e^{-st}\,dt = \int_0^\infty f(u)\,e^{-s(u+L)}\,du = e^{-sL}\,F(s)

Então um atraso puro multiplica toda transformada por $e^{-sL}$ . Essa é a sua função de transferência, e sobre a linha $s = i\omega$ ela é exatamente o giro para trás de $\omega L$ lá de cima.

Theo: Mas $e^{-sL}$ não é uma fração de polinômios. Onde estão os polos dela?

June: Em nenhum lugar que dê para listar. Coloque-o numa malha e $1 + C\,P = 0$ tem infinitas soluções. É por isso que este capítulo para de desenhar mapas de polos e passa a medir oscilações.

Medindo o chuveiro uma oscilação de cada vez

Agora acrescente o suavizador ao atraso do cano. A cabeça e as paredes do cano demoram para esquentar, então o chuveiro completo atrasa e suaviza as mudanças da manopla. O plano: oscile a manopla numa velocidade, espere um ritmo estável e meça dois números:

Ganho (a mesma palavra do ganho do controlador: tamanho que sai ÷ tamanho que entra): quão grande é a oscilação de temperatura, comparada com a oscilação na mistura de água que pedimos.
Fase: quanto ela está atrasada, como um ângulo: a fração de uma oscilação inteira, vezes 360°.

Cada medição coloca um ponto em dois gráficos. Meça pelo menos cinco velocidades, lentas e rápidas.

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A régua espremida

Nestes gráficos, cada ×10 é um passo igual ao longo do eixo: de 0,1 a 1 ocupa o mesmo espaço que de 1 a 10. O ponto do meio entre 0,1 e 1 é cerca de 0,3, não 0,55. A régua é espremida para que uma oscilação de 100 segundos e uma de 3 segundos caibam no mesmo gráfico. Olhe o ganho do suavizador nesta régua: plano para oscilações lentas, depois descendo por uma linha quase reta para as rápidas, com uma curva perto de $\omega = 1/\tau$ .

June: Passos iguais são vezes iguais, não mais iguais. Como as oitavas de um piano!

A régua espremida tem um segundo presente: nela, multiplicar vira somar. ×10 é sempre um passo acima, seja de onde for que você comece, e ×0,1 um passo abaixo. É por isso que o eixo do ganho também é espremido. Ao longo de uma malha os ganhos se multiplicam (mão × suavizador × cano), então nesta régua as alturas deles simplesmente se somam, igualzinho aos atrasos de fase. É o logaritmo do Capítulo 4 em ação: $\ln(a\,b) = \ln a + \ln b$ .

O suavizador encolhe as oscilações rápidas, enquanto o cano continua acrescentando atraso de fase. Essas curvas de ganho e fase em função da velocidade de oscilação formam um diagrama de Bode. Juntas, elas são a resposta em frequência do chuveiro: como ele trata cada velocidade de oscilação. Aqui a entrada é a temperatura da água misturada, então as oscilações lentas têm ganho 1. Se usássemos a fração da manopla como entrada, o ganho seria 45 vezes maior. Para obter a resposta em frequência a partir da fórmula, faça $s = i\omega$ : o mesmo truque que encontrou a borda do Capítulo 11. (Funciona porque o chuveiro sozinho é estável, então suas oscilações entram num ritmo constante que podemos medir.)

O que o suavizador faz com um girador

Theo: O truque do Capítulo 4 de novo: chutar que a resposta é o mesmo girador, só com outro tamanho e outro ângulo.

\tau\,\dot y + y = u,\quad u = e^{i\omega t},\ y = Y\,e^{i\omega t} \;\Rightarrow\; (1 + i\omega\tau)\,Y = 1 \;\Rightarrow\; Y = \frac{1}{1+i\omega\tau}

Coloque o girador $e^{i\omega t}$ na regra do suavizador e a seta $Y$ precisa satisfazer $(1 + i\omega\tau)\,Y = 1$ . Setas do Capítulo 7: $1 + i\omega\tau$ tem comprimento $\sqrt{1+\omega^2\tau^2}$ e aponta para cima no ângulo $\arctan(\omega\tau)$ . Dividir por ela encolhe por esse comprimento e gira para trás por esse ângulo. As oscilações lentas quase não percebem. As rápidas são espremidas e se atrasam rumo a um quarto de volta, mas nunca passam dele.

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G(i\omega) = \frac{e^{-i\omega L}}{1 + i\omega\tau}, \qquad |G| = \frac{1}{\sqrt{1+\omega^2\tau^2}}, \qquad \angle G = -\arctan(\omega\tau) - \omega L

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June: Achei! Perto de 0,95 rad/s o chuveiro sozinho vira uma oscilação de cabeça para baixo. Guardem essa velocidade.

Quão perto do precipício?

Agora feche a malha: mão → manopla → cano → pele → mão. Siga uma oscilação por todo o caminho. Para a mão do Capítulo 0, a volta pela malha é $G_{\circ}$ (um circulozinho de malha, porque $L$ já é o atraso):

G_{\circ}(s) = \underbrace{\frac{k}{s}}_{\text{mão}}\cdot\underbrace{\frac{45\,e^{-2{,}5s}}{s+1}}_{\text{chuveiro}}

A realimentação subtrai (erro = alvo − temperatura). Isso é um ×(−1), a meia-volta do Capítulo 5, então a onda se inverte uma vez. Se a volta pela malha também a atrasa em exatamente 180°, as duas inversões se cancelam, e cada correção chega perfeitamente no ritmo do balanço, como empurrar um balanço de parquinho no momento certo. Se a malha devolve a onda do mesmo tamanho (ganho 1), o balanço se mantém sozinho; maior que 1, ele cresce. É de novo o $1 + C\,P = 0$ do Capítulo 10, sobre a linha $s = i\omega$ : uma volta que retorna invertida e do mesmo tamanho é $G_{\circ}(i\omega) = -1$ .

June: Para esta malha simples do chuveiro, a fase passa por −180° em uma velocidade de oscilação relevante. Encontre essa velocidade no diagrama de fase e depois leia o ganho de malha na mesma velocidade no diagrama de ganho. Ele está abaixo ou acima de 1?

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Deslize até o total passar de 180°, entre 0,45 e 0,46 rad/s. No cruzamento exato, cerca de 0,457 rad/s, o balanço volta com 0,72 vez o tamanho, então a mão poderia ser cerca de 1 ÷ 0,72 ≈ 1,4 vez mais forte antes de chegar à borda.

Palavras novas

Margem de ganho: Quantas vezes você poderia multiplicar o ganho do controlador antes que o ganho de malha chegue a 1 na velocidade de −180°. Abaixo de 1 = passou do limite.
Margem de fase: Na velocidade em que o ganho de malha é exatamente 1, quanto atraso de fase extra seria preciso para chegar a −180°. Mais é mais seguro; 45°–60° é um alvo comum (o parêntese abaixo explica por quê).

No nosso chuveiro, a fase de $G_{\circ}$ chega a −180° em $\omega \approx 0{,}457$ rad/s, um período de oscilação de cerca de 13,8 s. A mão normal ( $k = 0{,}008$ ) tem uma margem de ganho de só cerca de 1,4, e uma margem de fase de cerca de 22° (onde o ganho de malha é 1, em 0,34 rad/s, a fase é −158°). Pertinho da borda! A mão mais forte dobra o ganho: 1,4 ÷ 2 = 0,7, precipício abaixo. É exatamente por isso que ela nunca se acomodou.

Preveja primeiro! Suponha que o cano tivesse o dobro do comprimento (um atraso de 5 s). O que acontece com o maior ganho de mão que ainda é estável?

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Mika: O dobro de cano, mais ou menos metade de mão. E os balanços na borda também ficam mais lentos: quase 24 segundos!

Theo: Tá, retiro o que disse. Um atraso não só deixa as coisas mais lentas: ele come margem de fase, e a margem de fase é a única coisa entre você e uma oscilação.

O seu chuveiro do Capítulo 0, explicado

Aqui está a sua própria experiência do Capítulo 0. Se as suas oscilações estavam perto do limite, o período delas deve ser próximo do que a malha prevê. Tem uma reviravolta: as pessoas não são todas o mesmo tipo de controlador.

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Uma mão de velocidade (girar a manopla enquanto parece errado) é um controlador I: sua borda fica em balanços de 13,8 s. Uma mão de posição ("tá quente demais, coloca a manopla aqui") age como um controlador P: $G_{\circ}(s) = 45K\,e^{-2{,}5s}/(s+1)$ . Uma mão de posição não tem pilha, então não tem 90° próprios: o cano e o suavizador sozinhos precisam chegar a 180°, o que acontece numa oscilação mais rápida, $\omega \approx 0{,}95$ rad/s (a velocidade de cabeça para baixo da June). Isso significa balanços de 6,6 s, para qualquer $K$ acima de cerca de 0,031 de manopla por °C. A maioria das pessoas é uma mistura. (A mão normal do robô balança um pouco mais devagar que 13,8 s, cerca de 15,5 s, porque fica logo antes da borda; os balanços da mão mais forte, cerca de 11,6 s, são achatados pela manopla batendo nos extremos.)

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Mika: Então, quando eu girava a manopla de uma vez direto para um ponto, eu era uma mão de posição. Meus balanços de seis segundos eram o cano e o suavizador, não dedos desajeitados.

Projete um chuveiro robô

Agora vamos vencer nossas próprias mãos. O robô usa PI: o P reage ao erro de temperatura atual, e o I lembra o erro acumulado. Juntos, eles deixam a manopla responder logo, enquanto o I encontra a posição certa para durar.

June: Fácil. Vou usar ganhos grandes, como no drone: rápido e ágil. Já estão configurados. Olha só!

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June: …ele fica oscilando sem parar, quente–frio–quente, a cada 6 segundos, como uma mão de posição no Capítulo 0. Os ganhos grandes empurraram a velocidade de ganho 1 para além da velocidade de −180°. Margem de fase nenhuma.

Theo: O drone aguentava ganhos grandes porque quase não tinha atraso. Aqui, robusto quer dizer suave: deixe margem para o atraso. Experimente meus ganhos suaves, algo como $K_p \approx 1$ e $K_i \approx 0{,}6$ .

O P reage ao agora, o I à pilha. Acrescentar um pouco de agora move a manopla um pouco antes, o que devolve fase: avanço de fase, cerca de 37° na antiga velocidade de −180° com os ganhos do Theo.

Um PI com boa margem se acomoda em cerca de 9,4 segundos, sem grandes oscilações repetidas. Isso supera a mão normal (que passou quase um minuto oscilando antes de se acalmar) e a maioria dos humanos. Mas não pode vencer a física: nada pode reagir à água que ainda não chegou. Os engenheiros têm um truque para atrasos longos, o preditor de Smith, que executa uma pequena simulação do cano dentro do controlador. Isso é história para outro caderno.

Robustez é a verdadeira lição. Seu modelo do chuveiro nunca é perfeito: o cano pode ser mais longo, o aquecedor mais fraco. Uma margem diz o quanto o modelo pode estar errado, como um número que dá para sentir. A margem de fase (em radianos) dividida pela velocidade de ganho 1 é uma margem de atraso: quantos segundos de cano extra a malha aguenta.

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Theo: A mão normal só aguenta cerca de 1,1 s de cano extra. Meu robô suave aguenta 3,5 s. É isso que robusto quer dizer.

O que entendemos agora

O que descobrimos

Um atraso $L$ defasa uma oscilação em $\omega L$ : nada para oscilações lentas, muito para as rápidas.
Uma pilha (I) atrasa toda oscilação em 90°; um suavizador, em até 90°; um cano, em $\omega L$ , sem limite.
Alimentar com ondas senoidais e medir ganho e fase dá a resposta em frequência; plotada, é um diagrama de Bode, e é só $G(i\omega)$ .
Para esta malha simples do chuveiro, a oscilação autossustentada começa quando a malha atinge −180° de fase com ganho 1; ganho maior faz os balanços crescerem até que os limites intervenham.
Margem de ganho e margem de fase medem a distância até esse precipício. Atraso maior significa menos margem, então você precisa de um controle mais suave.
Nossos balanços do Capítulo 0 eram um controlador (nós) com margem pequena demais.

Agora temos todas as ferramentas: realimentação, PID, polos, margens. Hora do teste de verdade: vento, uma entrega de pacote e um sensor ruidoso. Você consegue manter o drone a 2 m?

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