第 10 章

传递函数、极点和零点

我们能从一个分式里读出系统的全部个性吗？

系统的配方

朱恩: 让无人机在 1 m 高度悬停，用 4.9 N 的基础推力平衡重力。从这一基准出发，同时测量请求的变化量和实际高度的变化量。在新请求发出之前，两者的变化量都是零。在阶跃示例中，请求在 $t=0$ 时跳到 2 m，所以它的变化量变为 1 m，而此时无人机仍在 1 m 高度。

西奥: 那就好，因为上一章我们丢掉了 $-h(0)$ 那几项，结果公式撒了谎。这次从悬停状态开始测量，那些初始值真的是零，所以它们是光明正大地消失的。

\Delta\out{H}(s) = \underbrace{\frac{\eff{K_p}}{m s^2 + c s + \eff{K_p}}}_{G(s)} \cdot \Delta\sp{R}(s)

配方从哪里来

悬停推力抵消了重力，所以无人机的方程里只剩下变化量。现在用第 9 章的规则：每个斜率都变成 × $s$ ，再减去它的初始值。从悬停开始，每个初始值都是零，所以什么都不用减：

\begin{gathered} m\,\Delta\out{h}'' + c\,\Delta\out{h}' = \eff{K_p}\,(\Delta\sp{r} - \Delta\out{h}) \\[2pt] \Big\downarrow\ {\scriptstyle \Delta h(0)\,=\,\Delta h'(0)\,=\,0} \\[2pt] (m s^2 + c s + \eff{K_p})\,\Delta\out{H}(s) = \eff{K_p}\,\Delta\sp{R}(s) \end{gathered}

两边除以 $m s^2 + c s + \eff{K_p}$ ， $G(s)$ 就出来了。它的分母，正是我们在第 4 到第 7 章靠猜 $e^{st}$ 得到的那个方程。

米卡: 所以这不是魔法。它就是无人机自己的方程，只是每个斜率都变成了一个 $s$ 。

$\Delta\sp{R}(s)$ 是相对 1 m 的请求变化量的变换； $\Delta\out{H}(s)$ 是相对 1 m 的实际变化量的变换。 $G(s)$ 由无人机和控制器决定，是固定的。它就是传递函数：输出变化量除以输入变化量，且两个变化量都从零开始。

图上显示的仍然是离地高度。把 1 m 的起始高度加到公式预测的变化量上，就得到图上蓝色的高度。

米卡: 朱恩说对了：这个分数就是无人机。它就像无人机的配方。喂进任何原料，它都会告诉你出来什么！

在同一架无人机上试试三种不同的输入。配方永远不变，变的只是 $\Delta\sp{R}(s)$ 。

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新词

传递函数 $G(s)$: 变换后的输出变化量 ÷ 变换后的输入变化量，从相同的静止状态出发。对这架线性无人机来说，它是 $s$ 的多项式之比。
从静止开始（零初始条件）: 在 $t = 0$ 时，每个变化量和它的速度都是零，就像我们从悬停状态开始测量时那样。这时第 9 章里像 $-h(0)$ 这样的初始值项也都是零， $G(s)$ 就说明了一切。

极点：系统想要待的地方

$G(s)$ 在哪里爆掉？在分母为零的地方。这些点就是极点，用 × 表示。这架无人机有两个极点，正好对应第 7 章中两种自然的 $e^{st}$ 运动。

在第 8 章， $e^{at}$ 的变换在 $s = a$ 处尖叫。反过来读： $G$ 在哪里尖叫，哪里就藏着一个运动 $e^{pt}$ 。

朱恩: 所以极点就是第 7 章的模态，坐在地图上！

为什么极点就是运动

阶跃响应就是 $G(s)$ 乘以阶跃的 $\frac{1}{s}$ 。把它拆成简单的几块，也就是第 9 章的部分分式（一对镜像极点得到一对镜像孪生的分子）：阶跃自己在 0 处的极点给出最终的变化量 $A$ ， $G$ 的每个极点各给出一块 $\frac{B}{s-p}$ 。

\begin{aligned} \Delta\out{H}(s) = G(s)\cdot\frac{1}{s} &= \frac{A}{s} + \frac{B}{s-p} + \frac{\bar B}{s-\bar p} \\[4pt] \Longrightarrow\quad \Delta\out{h}(t) &= A + B e^{pt} + \bar B e^{\bar p t} \end{aligned}

第 9 章的表把每一块都变回一个运动。不会再出现别的东西：极点就是全部演员。

西奥: 而 $\sigma > 0$ 的极点就是一块会不断变大的运动。难怪右半边会爆掉。

现在反过来。与其选增益再求极点，不如让我们拖动极点，看看会得到什么样的无人机。这需要第二个旋钮 $\eff{K_d}$ ：一个对抗速度的推力，我们会在第 11 章正式认识它。它会加到阻力 $c$ 上，两个根是 $p$ 和它的镜像孪生 $\bar p$ （上面那一横把虚部的符号翻过来，就像第 6 章里的那对孪生）：

\begin{aligned} & m s^2 + (c + \eff{K_d})\,s + \eff{K_p} = 0 \\ \Longrightarrow\quad & s = p,\ \bar p \qquad \text{（极点）} \end{aligned}

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先预测一下！ 如果我们把极点拖到 s 平面的右半平面，无人机会怎样？

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读懂这张地图

动手玩玩吧。几条规则会立刻跳出来，每一条都是乔装打扮的老朋友：

左半边 = 平静下来，右半边 = 爆掉。实部 $\sigma$ 就是 $e^{\sigma t}$ 收缩或增长的速率。
越往左 = 越快。调节时间大约是 $4/|\sigma|$ 秒（竖直虚线）：这就是第 7 章的四个时间常数，因为 $e^{-|\sigma| t}$ 在 $\ln 50/|\sigma| \approx 3.9/|\sigma|$ 秒后就低于 2 %。
越往上 = 摆得越欢。高度 $\omega$ 就是第 7 章的阻尼振荡频率，所以摆一次要 $2\pi/\omega$ 秒。
角度决定超调。从负实轴量起的角度 $\theta$ 给出 $\zeta = \cos\theta$ （第 7 章的圆），超调是 $e^{-\pi|\sigma|/\omega}$ （虚线射线）。靠近实轴时几乎不超调，靠近竖直轴时超调很大。（对两个极点、没有零点、从静止开始的情况，这是精确的。零点会改变它：下一节里，一个零点把 12 % 变成了 15 %。）

米卡: 我只想放一个极点在很高的地方，一个在很低的地方。可它不让！下面那个总是跟着上面那个跑。

西奥: 还记得第 6 章里的那对旋转箭头吗？真实的无人机有真实的运动，所以每个旋转的 $e^{st}$ 都需要它的镜像孪生来抵消虚部。复数极点总是成镜像对出现。

为什么角度决定超调

无人机越过目标，摆了半次之后在 $t = \pi/\omega$ 掉头。到那时，收缩的 $e^{-|\sigma| t}$ 已经干了这么久的活，这一摆还剩下的部分就是超调。只有比值 $|\sigma|/\omega$ 起作用，而这个比值就是极点的角度。在第 7 章的圆上，这个角度的余弦就是 $\zeta$ 。

\begin{aligned} t_{\text{峰值}} &= \frac{\pi}{\omega} \\[4pt] \text{超调} &= e^{-|\sigma|\,t_{\text{峰值}}} = e^{-\pi|\sigma|/\omega} \\[4pt] &= e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}, \qquad \zeta = \cos\theta \end{aligned}

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西奥: 所以从 0 出发的每一条射线，就是一个 $\zeta$ ，也就是一个超调。

先预测一下！ 保持 $\sigma = -2$ ，把极点笔直往上滑，从 $\pm 4i$ 滑到 $\pm 8i$ 。什么会变？

朱恩: 我们一回答，游乐场就跳了一下：幽灵那一对在 $\pm 4i$ ，新的一对在 $\pm 8i$ 。包络一样，摆动多了一倍，第一下也摆得大多了。

米卡: 要是两个极点都在实轴上呢？一个在 $-0.2$ ，一个在 $-5$ 。

朱恩: 快的那个一秒钟就没了。慢的那个才是老大。

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新词

极点: 使传递函数爆掉的 $s$ 值。每个极点 $p$ 都是系统的一种运动 $e^{pt}$ 。
镜像对 $p,\ \bar p$: 实部相同、虚部相反的两个极点。实系统的复数极点总是这样成对出现。
主导极点: 离竖直轴最近的极点。它的慢运动比其他运动都活得久，所以通常由它决定调节时间，除非有一个零点几乎正好压在它上面（第 11 章就有一个）。

零点：快速一瞥

分子也可以为零。那些点就是零点，画成 ○。通常它们改变每个极点的运动在输出中出现的多少。如果一个零点正好落在一个极点上，公因子相消，那个极点就从这份输入到输出的配方中消失了。不过它仍然藏在系统里：用别的方式推一下无人机，比如一阵风，那个运动就又回来了。如果藏起来的极点在右半边，这一点就非常要紧。

这是一个极点固定在 $-2 \pm 3i$ 的系统，还有一个可以滑动的零点。（我们游乐场里的 $\eff{K_d}$ 对抗的是无人机的速度，所以它的配方没有零点。要是改成对抗误差的速度，就像第 11 章会做的那样，就会在 $-\eff{K_p}/\eff{K_d}$ 处出现一个零点：对这组极点来说是 $-6.5$ ，超调是 15 % 而不是 12 %。）

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朱恩: 同样的极点，但当零点靠近原点时，响应会跳得更快，超调也更大！

西奥: 极点一样，运动就一样。所以零点不可能加进一个新运动。它一定是在给我们已有的东西多加一点。

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乘以 $s$ 就是取斜率（第 9 章），所以因子 $(1 + s/|z|)$ 加上了 $1/|z|$ 倍的斜率。这就是为什么靠近原点的零点会让系统对变化反应这么强烈：即使极点没动，超调也会变大。离得远时，零点几乎不起作用。关于零点，目前知道这些就够了。

新词

零点: 使传递函数为零的 $s$ 值：系统不会传下去的运动 $e^{zt}$ 。

越靠左总是越好吗？

朱恩: 简单：把极点往左拖得远远的。眨眼间就稳定了。史上最好的无人机！

西奥: 可是，那需要多大的推力呢？到目前为止，我们都假装电机能想推多大就推多大。

该说实话了。我们的电机推力在 0 N 到 20 N 之间（大约是无人机重量的四倍）。下面，极点沿着 45° 线向左移动（也就是 $\zeta \approx 0.71$ ，第 7 章的最佳点）。虚线是假设电机虚构、推力无限时的数学结果；实线是真实电机的结果。

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过了大约 $-3.9 \pm 3.9i$ ，数学要求的推力就超过 20 N。橙色推力被压平在极限上；过了大约 $-6 \pm 6i$ ，数学甚至想把无人机往下拉，而螺旋桨做不到。真实无人机不再跟随那条漂亮的线性预测。它的调节时间在 $-6.5 \pm 6.5i$ 附近停在约 0.7 s，不再变好；再往左反而更差，超调还变大了。

朱恩: 我一路滑到了 $-8 \pm 8i$ 。数学说 0.53 s。真实无人机用了 0.77 s：比在 $-6.5$ 时还慢！

米卡: 而且它的超调从 4 % 涨到了 16 %。那些额外的推力从来就不存在。

朱恩: 所以“越往左越好”只在电机还没到极限之前成立。配置极点是一种权衡，不是一场赛跑。

新词

第一下推力: 阶跃第一瞬间所要求的推力： $mg + \eff{K_p}\,\Delta r$ ，这时无人机还没动。
推力预算: 对给定的阶跃，电机负担得起的极点位置：一个以 0 为圆心的圆。
电机限制（饱和）: 不管数学要求多少，真实推力都会被限幅在 0–20 N 之间。

在纸上闭合回路

朱恩: 第 1 章里，我们用方框和箭头画出了回路。在 s 的世界里，每个方框只是做乘法。方框能替我们把代数算出来吗？

给每个方框写上它的配方。控制器是 $C(s)$ ，目前就是 $\eff{K_p}$ 。无人机本身，推力变化进、高度变化出，是 $P(s) = \frac{1}{ms^2 + cs}$ ：P 代表被控对象（plant），第 1 章的词，不是 P 控制的那个 P。它直接来自无人机的方程，和上面那个配方的来法一样。

朱恩: 简单。请求先经过控制器，再经过无人机。沿着这条线乘下去就行！

\Delta\out{H} \overset{?}{=} C\,P\,\Delta\sp{R} = \frac{\eff{K_p}}{ms^2 + cs}\,\Delta\sp{R}

西奥: 极点在 0 和 −2？一点摆动都没有，还有一个在 0 处、永远稳定不下来的极点。这就是第 1 章的开环：告诉无人机该做什么，然后再也不看一眼。控制器看到的不是请求，朱恩。它看到的是误差。

从无人机绕回来的那支箭头，正是反馈的全部意义。控制器作用在 $\Delta\sp{R} - \Delta\out{H}$ 上，所以输出在等号两边都出现了。把它归到一起，再做除法：

\begin{aligned} \Delta\out{H} &= C\,P\,\big(\Delta\sp{R} - \Delta\out{H}\big) \\ \Delta\out{H}\,\big(1 + C\,P\big) &= C\,P\,\Delta\sp{R} \\ \Delta\out{H} &= \frac{C\,P}{1 + C\,P}\,\Delta\sp{R} \end{aligned}

代入 $C = \eff{K_p}$ 和 $P = 1/(ms^2+cs)$ ，然后把分子和分母都乘以 $ms^2 + cs$ ：

\frac{C\,P}{1 + C\,P} = \frac{\eff{K_p}/(ms^2+cs)}{1 + \eff{K_p}/(ms^2+cs)} = \frac{\eff{K_p}}{ms^2 + cs + \eff{K_p}}

米卡: 这就是本章开头的那个配方！我们得到了两次：一次来自无人机的方程，一次来自方框。

所以回路的极点就在分母 $1 + C(s)\,P(s)$ 为零的地方。这等同于 $C\,P = -1$ 。把 $C\,P$ 理解为绕回路一圈：控制器、然后无人机，对一个信号做了什么。在极点处，绕一圈把信号以同样的大小、翻转过来送回，而误差里的减号又把它翻转回去。所以它在完全没有请求的情况下自己维持下去。

1 + C(s)\,P(s) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad C(s)\,P(s) = -1

拿一个稳定的摆动来试试， $s = i\omega$ 。绕一圈把摆动的箭头变成 $C(i\omega)\,P(i\omega)$ ：变短或变长，并且往回转。下面的小工具为每一种摆动速度画出这支箭头，还有它必须到达的那个点 −1。

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西奥: 不管我把 $\eff{K_p}$ 推到多大，曲线都向 −1 弯过去，但从来碰不到它。它离得最近的地方，大约在无人机自己的摆动速度附近。

原因在这里。阻力让一圈最多往回转 90°，质量再让它最多往回转 90°，但两者加起来只有在无限快的摆动时才达到 180°。所以单靠 P 控制，永远没法让这架无人机翻过边缘。更大的 $\eff{K_p}$ 只会让这一圈从更近的地方经过 −1，而更近意味着阻尼更小：第 2 章的“ $K_p$ 越大，摆得越厉害”，现在变成了一幅图。

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新词

闭环: 一个根据误差动作的控制器，所以输出又反馈回它自己的输入： $\Delta H = \frac{C\,P}{1 + C\,P}\,\Delta R$ 。
回路增益 $C(s)\,P(s)$: 绕回路一圈对一个信号做了什么。闭环的极点就在它等于 −1 的地方。

我们现在知道了什么

我们搞清楚了什么

对，一个分数就够了。传递函数 $G(s)$ = 在 s 的世界里，从静止开始时输出的变化 ÷ 输入的变化。它是系统的配方， $\Delta\out{H} = G\cdot\Delta\sp{R}$ ，直接来自无人机的方程。
极点（×）是 $G(s)$ 爆掉的地方：构成系统的那些 $e^{pt}$ 模态。
左半边 = 稳定，右半边 = 爆掉。越往左 = 越快（大约 $4/|\sigma|$ s 稳定下来，这是经验法则），越往上 = 摆得越欢（摆一次 = $2\pi/\omega$ s），角度 = 阻尼 $\zeta$ = 超调 $e^{-\pi|\sigma|/\omega}$ 。离轴最近的极点是老大。
复极点总是成镜像对出现。
零点（○）改变每个模态出现的多少。靠近原点时，它们会加一下冲击： $1/|z|$ 倍的斜率。
在纸上闭合回路，配方就是 $\frac{C\,P}{1 + C\,P}$ 。极点就在绕回路一圈 $C\,P$ 等于 −1 的地方。
对 1 m 的阶跃，第一下推力是 $mg + m|p|^2$ ，所以离得很远的极点需要电机根本没有的推力。

西奥：“这些极点很漂亮。但等等：我们整章都在作弊，直接把悬停推力送给了无人机。没有它，重力还是会让它留下静差。我们的 s 平面没问题。需要修的是我们的控制器。”

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