第 2 章

比例控制

当无人机飞得太低时，它应该用多大的力往上推？

离得越远，推得越用力

朱恩: 上次，无人机装上包裹后低了 25 厘米才稳定下来。我想知道为什么。

西奥: 我们的规则有两部分：4.9 N 用来托住无人机，再加上每米误差 8 N。那个 4.9 N 是对重量的猜测。一旦包裹改变了重量，这个猜测就错了。

米卡: 那我们就别猜了！不要 4.9。让误差来做全部的工作：偏离多远，就按比例推多用力。

这就是最有名的控制器，比例控制（简称“P 控制”）：

\eff{T} = K_p \, \err{e} = K_p\,(\sp{r} - \out{h})

$K_p$ 是增益：误差每增加一米，你额外加多少牛顿的推力。它的单位是牛顿每米（N/m）。 $K_p$ 大意味着控制器很积极， $K_p$ 小则比较佛系。这是本章我们唯一能调的旋钮。

先预测一下！ 取 $K_p = 5$ N/m。无人机从地面起飞，目标是 2 m。它最终会悬停在哪里？

看蓝色虚线：那是无人机最终悬停的位置，它总是低于给定值。这个差距叫做稳态误差，简称静差。

西奥: 这是一场拔河。重力始终以 4.9 N 向下拉。控制器要想用 4.9 N 顶回去，唯一的办法就是留下一些误差去相乘。

\begin{aligned}\eff{T} &= \text{重力} \\ \Longrightarrow K_p\,\err{e} &= 4.9 \\ \Longrightarrow \err{e}_{\text{静差}} &= \frac{4.9}{K_p}\ \text{m}\end{aligned}

现在把 $K_p$ 调到 2 N/m。无人机甚至都离不开地面！在地面上误差是 2 m，所以推力只有 $2 \times 2 = 4$ N，小于 4.9 N 的重力。公式说它需要静差 2.45 m，那都到地底下去了。

朱恩: 简单粗暴的解法：增益越大越好。 $K_p$ 越大，静差越小。使劲加！

米卡: 马上办。最大功率： $K_p = 60$ ！

米卡: 静差降到 8 cm！几秒之后基本就到 2 m 了。胜利！

西奥: 米卡……看看头两秒。它冲到了大约 3.4 米，远远超过了给定值。再看推力：起飞时 120 N，然后往下拉，然后又往上。这哪是悬停，这是在弹跳。

米卡: 哦。我只看了它最后停在哪。一开始那块红色误差区域大得吓人。

那就是米卡的错误：只根据控制器最终停在哪里来评判它。它如何到达那里同样重要。试几个增益，看看你上一次运行留下的淡淡残影：

朱恩: 为什么推得更猛反而会让它晃起来？

西奥: 大力一推让它动得很快。当它到达正确高度时，它仍然在快速上升，而我们的规则里没有任何一条说“慢下来，你快到了”。只有空气阻力在轻轻给它刹车。于是它冲过头，被推回来，又冲过头……

让我们找到最佳点。如果无人机静差小于 20 cm 并且超调小于 30%（我们把超调量度量为它冲过最终稳定高度的幅度），就算通过。找一个能同时满足这两点的 $K_p$ 。

米卡: 绿色区域永远不会重叠！静差要求 $K_p$ 高于约 24.5，超调要求它低于约 3.9。没有解。

西奥: 因为一个旋钮同时控制两者，而且把它们往相反方向拉。不是我们没找到正确的数字。而是根本不存在。我们需要一种更好的控制器。

朱恩: 要设计更好的控制器，我们得好好聊聊这些晃动。“迟钝”、“弹跳”、“最终会稳定”……那些是感觉，不是物理。

迟钝。晃来晃去。超调。稳定。我们一直用模糊的词语描述事物如何随时间变化。我们需要一门真正描述变化的语言。