第 9 章

把微积分变成代数

我们能把微积分变成代数吗？

斜率变成乘法

米卡: 还记得第 4 章的便利贴吗？对 $e^{at}$ 来说，求斜率就是 $\times\, a$ 。现在看看探针会怎么对待斜率。

新词

$f'$ 和 $f''$: $\frac{df}{dt}$ 的简写，即 $f$ 的斜率，以及斜率的斜率。第 7 章用点来写它们： $\dot x$ 和 $\ddot x$ 。
$\mathcal{L}\{f\}$: “ $f$ 的变换”：和 $F(s)$ 是一回事，当 $f$ 是一整个表达式时很方便。
大写字母: 大写字母是对应小写字母的变换： $F$ 对应 $f$ ， $H$ 对应高度 $h$ ， $X$ 对应 $x$ 。

下面这个性质让这一切都值得。当我们取信号的斜率时，变换会发生什么？用 $f = e^{at}$ 试试。它的斜率是 $a e^{at}$ （第 4 章），所以

\begin{aligned} \mathcal{L}\{f'\} &= \frac{a}{s-a} = \frac{s}{s-a} - 1 \\ &= s\,F(s) - f(0) \end{aligned}

斜率变成了乘以 $s$ ，再减去起始值 $f(0)$ 。微积分变成了代数！

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西奥: 等等。这招对 $e^{at}$ 管用，是因为 $e^{at}$ 很特殊。接下来你是不是要说，这是一条我们该背下来的查表规则？对任何曲线我都不信。

朱恩: 那我们就拿你能画出的最丑的曲线来试试。

在第一张图里随便画一个信号（或者选一个预设）。我们算出它的斜率，再用面积机器算出规则的两边：斜率的变换，以及 $s\,F(s) - f(0)$ 。第二张图对每个 $s$ 都画出这两边。

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西奥: 它们对上了，连我那条歪歪扭扭的涂鸦也对得上。原来这根本不是查表规则：这就是面积机器对任何斜率做的事。

缺的代数在这里，画成一幅图。乘积变化有两个原因： $f$ 在变而探针不动，以及探针在变而 $f$ 不动。想象一个边长为 $f$ 和 $e^{-st}$ 的长方形：它先沿一条边长大，再沿另一条边长大。这一步有个名字：分部积分。

\big(f\,e^{-st}\big)' = f'\,e^{-st} - s\,f\,e^{-st}

把这些变化从 0 加到 ∞（第 3 章：面积抵消斜率），得到的就是终点的值减去起点的值。方括号 $\big[\,\cdot\,\big]_0^\infty$ 的意思正是这个：

\big[f\,e^{-st}\big]_0^\infty = \int_0^\infty f'\,e^{-st}\,dt - s\,F(s)

在远端，探针已经把一切都压成了零（只要 $s$ 胜过信号的增长），所以左边就是 $0 - f(0)$ 。把 $s\,F(s)$ 移到另一边，规则就出来了。

西奥: 所以 $f(0)$ 不是凑数用的。它就是我们一开始的那个长方形。

对 $f'$ 再用一次同样的规则，它的初始值是 $f'(0)$ ，也就是初始速度：

\begin{aligned} \mathcal{L}\{f''\} &= s\,\mathcal{L}\{f'\} - f'(0) \\ &= s\big(s\,F(s) - f(0)\big) - f'(0) \\ &= s^2 F(s) - s\,f(0) - f'(0) \end{aligned}

我们自己的表

教科书把“拉普拉斯变换表”印出来，好像它是从天上掉下来的。我们要一行一行地把它挣出来。每一行都只是把探测—面积机器用在一个信号上，再检查一下公式和实际面积是否一致。

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米卡: 正弦那一行是我的最爱。正弦不过是两个孪生旋转子，而每个旋转子的变换就是指数那一行取 $a = \pm i\omega$ 。第 6 章把这对孪生相加得到余弦。改成相减，沿轴的部分就抵消了，只剩 $2i\sin\omega t$ 。 $2i$ 就是从这儿来的！而这对孪生的分母相乘，正是第 7 章的镜像乘积 $(s - i\omega)(s + i\omega) = s^2 + \omega^2$ 。

（对于复数 $a$ ，只要 $s$ 的左右部分胜过 $a$ 的左右部分，指数那一行照样成立。对这对孪生来说，就是简单的 $\sigma > 0$ 。）

最后一行根本不用新功夫：乘以 $e^{-\sigma t}$ 只是把 $s$ 平移成 $s+\sigma$ 。四行，全部推导，全部验证。

还有一条规则我们一直在悄悄用。面积机器很公平：把信号变高 3 倍，它每一小条面积都变高 3 倍，所以整块面积也是。两个信号相加，它们的面积也相加。数学家把这叫做线性。

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朱恩: 正因为这样，我们才能把一个方程一项一项地变换，前面的系数照带不误。而无人机的方程正好就是这样一个和。来用这张表吧！

把通分倒过来

西奥: 我们得到的每个答案，出来都是一个大分式。可我们的表只认识小的： $\frac1s$ 、 $\frac{1}{s-a}$ ，还有正弦那几行。怎么把一个大分式拆成表里的碎片？

在学校里，你把分数相加时要先通分，找一个公共分母。这里我们倒过来走：从一个分式出发，找出加起来正好等于它的那些小碎片。这叫拆成部分分式：

\frac{1}{s} + \frac{1}{s+2} = \frac{2s + 2}{s\,(s+2)} \qquad\text{所以}\qquad \frac{2s+2}{s\,(s+2)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+2}

每块碎片的分子放什么？**分母里 $s$ 的每一次幂，对应一个未知数。**像 $s$ 或 $s + 2$ 这样的分母，分子就是一个普通的数。像 $s^2 + 2s + 5$ 这样的二次分母，分子是 $B\,s + C$ ：两个未知数，因为二次式里正好容得下两个。

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朱恩: 每个滑块移动一块碎片，而这些碎片在时间里也就是简单地相加。 $A$ 这一块是一个阶跃；二次的那一块是一个逐渐消失的摆动。右边那个大分式，就是它们加起来的结果。

求这些数时，一次幂的碎片有条捷径，叫掩盖法（赫维赛德掩盖法：把这块的分母“盖住”）。乘以这块碎片的分母，再把 $s$ 设成让这个分母为零的值：其他每一块都消失了，只剩下它的分子。

A = \Big[s \cdot \frac{2s+2}{s\,(s+2)}\Big]_{s=0} = \frac{2}{2} = 1, \qquad B = \Big[(s+2) \cdot \frac{2s+2}{s\,(s+2)}\Big]_{s=-2} = \frac{-2}{-2} = 1

二次分母还要再多走一步，表才能读懂它：用配方把它凑成 $(s + \sigma)^2 + \omega^2$ 的形状，也就是把中间那个数减半再平方。所以 $s^2 + 2s + 5 = (s + 1)^2 + 4$ ：一个衰减的余弦加正弦， $\sigma = 1$ ， $\omega = 2$ 。

用代数解无人机

这是第 2 章里 P 控制下的无人机，这次没有免费的悬停推力，并且从一个 1 m 高的台沿上出发。在 $t=0$ 时我们松手，并要求它到 2 m。从这一刻起算，新的给定值和恒定的重力都像阶跃一样变换：

m\,\out{h}'' + c\,\out{h}' = \eff{K_p}\,(\sp{2} - \out{h}) - \dis{m g}

第 1 步： 变换每一项。因为面积按比例缩放、可以相加（见表格那一节），我们可以单独变换每一项。大小为 $r$ 的阶跃变成 $r/s$ ，斜率变成乘以 $s$ 。我们写下的是：

m\,s^2\out{H} + c\,s\,\out{H} = \eff{K_p}\Big(\frac{\sp{2}}{s} - \out{H}\Big) - \frac{\dis{m g}}{s}

第 2 步： 现在全是代数了。把 $\out{H}$ 归到一边，然后相除：

\begin{gathered} \begin{aligned} &(m s^2 + c s + \eff{K_p})\,\out{H} \\ &\quad = \frac{\eff{K_p}\,\sp{2} - \dis{m g}}{s} \end{aligned} \\[8pt] \out{H}(s) = \frac{N(s)}{s\,\big(m s^2 + c s + \eff{K_p}\big)} \\[8pt] N(s) = \eff{K_p}\,\sp{2} - \dis{m g} \end{gathered}

米卡: 瞧瞧。一个斜率都不剩，只是在挪来挪去几个字母。西奥，你的笔记本不冒烟了。

第 3 步： 像上一节那样，把它拆成表里的碎片： $s$ 那一块的分子是一个数，二次的那一块分子是 $B s + C$ ：

\out{H}(s) = \frac{A}{s} + \frac{B s + C}{m s^2 + c s + \eff{K_p}}

怎么求出 $A$ 、 $B$ 和 $C$ ？两边同乘公共分母 $s\,(m s^2 + c s + \eff{K_p})$ ：

\begin{aligned} N(s) &= A\,(ms^2+cs+\eff{K_p}) \\ &\quad + s\,(Bs+C) \end{aligned}

掩盖法

求 $A$ 有一条捷径。把 $\out{H}$ 乘以 $s$ ，除了 $A/s$ 以外的每一块，分子上都还带着一个 $s$ 。令 $s = 0$ ，它们就全部消失。只有 $A$ 活下来：

A = \Big[s\,\out{H}(s)\Big]_{s=0} = \frac{N(0)}{\eff{K_p}} = \sp{2} - \frac{\dis{mg}}{\eff{K_p}}

而 $s\,\out{H}$ 在 $s = 0$ 附近的值，正是无人机最终停留的位置，前提是它真的会稳定下来。最终高度直接从代数里掉了出来，根本不用仿真。

米卡: 等一下。我们什么都不用解，就能读出它停在哪里？这感觉像作弊。

西奥: 这就是作弊，除非其他一切都消失了。这里其他的部分是无人机自己的摆动，它们会衰减掉，所以剩下的就是 $A$ 。如果分母在右半边有一个根， $A/s$ 仍然留在分数里，但一个不断增长的部分会把它淹没，无人机永远不会在任何地方稳定下来。第 10 章会告诉你怎么检查。

接着逐个比较两边 $s$ 的各次幂。常数项给出 $A$ ， $s^2$ 项给出 $B$ ， $s$ 项给出 $C$ ：

\begin{gathered} A = \sp{2} - \frac{\dis{mg}}{\eff{K_p}} \\ B = -m\,A, \qquad C = -c\,A \end{gathered}

这里没有出现任何新的物理：我们只是把通分倒过来，得到表格能翻译回时间的那些碎片。注意， $A$ 根本不在乎无人机是从哪里出发的。

西奥: 而我们一次都没猜过 $e^{st}$ 。是表格替我们猜的。

第 4 步： 在我们刚推导出的表里逐个查找： $A/s$ 是一个阶跃，第二块是一个衰减的余弦加一个衰减的正弦（下面的绕个小弯会说明它怎么对上那几行）。读出 $h(t)$ 。

配方：第 7 章一直藏在分母里

第二块还不在我们的表里：它的分母是个普通的二次式。把它凑成 $(s+\sigma)^2 + \omega^2$ 的形状（配方，和上一节一样），它就和衰减正弦那几行完全吻合。分子也同样拆开，一部分给余弦那一行，一部分给正弦那一行：

\begin{gathered} 0.5\,s^2 + s + \eff{K_p} = 0.5\,\big((s+1)^2 + \omega_d^2\big) \\ \omega_d^2 = 2\eff{K_p} - 1 \\[6pt] B\,s + C = B\,(s+1) + (C - B) \end{gathered}

所以 $\sigma = 1$ ，这正是我们无人机在第 7 章里的 $\zeta\omega_n$ ，而 $\omega$ 就是衰减后的摆动 $\omega_d$ 。

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西奥: 等等。分母为零的地方，正好是我们在第 7 章放到地图上的那两个点！先记住这个想法。

朱恩: 拿它和仿真对一下！

先预测一下！ 我们让无人机从 1 m 高的台沿出发，把公式和仿真并排运行。会看到什么？

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米卡: 哎呀。公式从零开始，可无人机是从 1 m 高的台沿开始的。代数在撒谎？

西奥: 代数没问题。撒谎的是我们。看第 1 步：我们写了 $\mathcal{L}\{h''\} = s^2 H$ 和 $\mathcal{L}\{h'\} = s\,H$ ，把每个 $h(0)$ 都丢掉了。而那恰恰是记住台沿的那一块。

拨动开关，把初始高度项放回去，看看第 1 步、第 2 步和上面的系数如何跟着改变。虚线的公式和蓝色的仿真现在严丝合缝地叠在一起：最大的差距不到百万分之一米，只是舍入误差。改一改 $\eff{K_p}$ 或台沿高度，它们照样一致。

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西奥: 在第 2 章，我们得真的让无人机飞起来才能找到静差。在这里，它直接从一个分式里掉了出来。

我们现在知道什么

我们搞清楚了什么

斜率变成乘法： $\mathcal{L}\{f'\} = sF(s) - f(0)$ 。 $f(0)$ 记着信号从哪里开始。忘了它，答案就从错的地方开始。
我们推导出了自己的表： $1/s$ 、 $1/(s-a)$ 、 $\omega/(s^2+\omega^2)$ ，以及衰减正弦的平移版本。面积按比例缩放、可以相加，所以我们能把方程逐项变换。
大分式可以拆成部分分式：每个分母里 $s$ 的每一次幂对应一个未知数，用掩盖法求出来。二次分母变成一个逐渐缩小的余弦加正弦。
变换，做代数，拆成表里的碎片，读出答案。 $A/s$ 这一块就是无人机最终停留的位置，静差也包含在内。它和仿真完全吻合，只要你保留初始值。

朱恩：“每次我们解出某个东西时，答案都是 (某个东西) ÷ (s 的多项式)，而无人机的行为来自底部为零的地方。如果那个分数就是无人机呢？”

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