第 3 章
变化的语言
我们怎么描述某个东西变化得有多快？
斜率就是速度
西奥: 我们一直在说“迟钝”“抖来抖去”“稳定下来”。朱恩说得对：那些都是感觉，不是数学。我想要一种精确的方式来描述无人机变化得有多快。
朱恩: 让我们回放第 2 章里的无人机（Kp = 20 N/m），仔细看看。
蓝色曲线是无人机高度随时间的变化。速度就是每秒高度变化了多少。在图上，这就是曲线在某一时刻有多陡。把一把尺子贴着曲线放，让它只在一点上刚好碰到曲线。这把尺子就是切线，它的斜率就是速度。
米卡: 简单：无人机在凸起的最高点速度最快，因为那里它最高！
西奥: 把光标放在凸起的最高点。切线是水平的。那里的速度是零！
米卡: 哦。无人机往上爬，向上的速度耗尽，在最高点停了一瞬间，然后落回来。高和快完全是两回事。
最快的时刻其实是在爬升的中段，那里曲线最陡。而当曲线向下走时，斜率为负：无人机正在下落。
这个“某一瞬间的斜率”有了一个名字：导数。我们把它写成高度的微小变化除以所花的那一点点时间。用符号写， 读作“高度变化量除以时间变化量”：希腊字母 Δ（delta）就是“变化量”的简写。
一条关于速度的规则
朱恩: 我的咖啡一开始凉得很快，然后就非常慢。它永远也到不了室温。
西奥: 因为降温的速度取决于它还需要走多远。很烫的杯子散热快。只是微温的杯子几乎不散热。
我们把它写成一条关于斜率的规则。咖啡温度是 T，房间是 20 °C：
负号表示“比房间热时就降温”。数字 τ（tau，即时间常数）表示这个杯子有多迟钝。可以这样想象：τ 就是咖啡如果一直保持最初的降温速度，降到室温所需的时间。对一个普通杯子来说，τ ≈ 10 分钟。
谜题在这里：这条规则只告诉我们此刻的斜率。我们能靠它把整条曲线推出来吗？来手动搭一下：看斜率，沿着它走一小段（Δt），再看新的斜率，再走……
朱恩: 十二个小步太无聊了。我直接迈15分钟的大步，马上就能搞定。
朱恩: ……等等。咖啡是−15 °C？！它在温暖的房间里冻住了？
西奥: 规则本身没问题。问题出在步子上。迈一个巨大的步时，你一直在用这一步起点的陡峭斜率，哪怕它早就过时了。你直接冲过了室温。
我们能精确看出差了多少。每一步都把与室温的差距乘以同一个数：
- Δt 小于 τ：这个因子在 0 和 1 之间。差距缩小，没有超调。
- Δt 恰好等于 τ：这个因子是 0。一步就正好落在室温上：这相当于把起始速度保持了整整一个 τ。
- Δt 在 τ 和 2τ 之间：这个因子是负数。咖啡先冲到室温以下，再冲到室温以上，来回摆动，同时摆幅逐渐缩小。
- Δt 大于 2τ：这个因子小于 −1。每一步摆幅都在变大。荒唐的咖啡。
米卡: 这就是淋浴！根据过时的信息行动得太猛，你就会来回摆。
把 Δt 调小，然后打开那条平滑曲线。手工画的点正好落在它上面。这个平滑的形状叫做指数衰减。下一章会专门讲它。
真实的咖啡从不会保持起始速度：差距越小，斜率也越小。所以经过一个 τ 后，它只补上了差距的大约 63%，而不是全部。在下面的标尺上，虚线是保持起始速度的情形；曲线才是真实发生的。63% 是从哪里来的？第 4 章会把它搭出来。
时间常数是一把尺子
先预测一下！ 经过一个时间常数后，咖啡已经补上了与室温之间差距的 63%。经过两个时间常数后，这个差距补上了多少？
经过 1τ 后：63%。经过 2τ 后：86%。经过 3τ 后：95%。它永远不会恰好到达那里，但大约 4–5 τ 之后，没人能分辨出来。切换到水箱：它通过一根管子从一个水位在 1.2 m 的大水库进水，推动水流的是两边的水位差，所以水箱越追越近，水流就越来越慢。规律是一样的（“速率与离满还有多远成正比”），形状也一样。
朱恩: 所以 τ 是一把内置的尺子。告诉我 τ，我就知道一个东西有多迟钝，不管它是一个杯子、一个水箱还是一架无人机。
新词
- 导数
- 曲线在某一瞬间的斜率：某物变化得有多快。写作 或 。
- 一阶系统
- 变化速率与它离目标还有多远成正比的东西（咖啡、水箱）。它的曲线是指数曲线。
- 时间常数 τ
- 一阶系统如果一直保持起始速度，到达目标所需的时间。实际上，在这段时间里它只走完剩余距离的 63%。
反过来：把面积加起来
西奥: 斜率把高度变成速度。我们能反过来吗？假设无人机的传感器只告诉我们它的速度。它在哪里？
如果你以恒定的 2 m/s 飞行 3 s，你会上升 6 m：速度 × 时间。在速度-时间图上，这就是矩形的面积。当速度不断变化时，把时间切成细条，把每一条当作矩形，再把它们全部加起来。
扫动光标，看着阴影面积增长。下面的蓝色曲线就是到目前为止的面积。当速度降到零以下（无人机下落）时，面积算作负值，高度就会下降。
米卡: 累积的面积正好落在真实高度上。斜率带你往一个方向走，面积把你带回来。
这个“累积面积”的操作叫做积分。它的符号 ∫ 是一个拉长的 S，取自英文 sum（求和）：把许多细条加起来。小小的 是每个细条的宽度， 和 表示从哪里开始加、到哪里停下：
斜率的斜率
米卡: 第 1 章给我们许下过一个承诺。无人机的方程里， 上面有两个点。一个点是速度。第二个点是什么？
速度本身也是一条曲线，所以它也有斜率：速度变化得有多快。这就是加速度，斜率的斜率。下面把同一次飞行画了三遍：高度、它的斜率（速度），以及速度的斜率（加速度），共用一个时间游标。
先预测一下！ 在凸起的最高点，速度为零。那里的加速度是多少？
米卡: 我说的是零！可在最高点，速度曲线正以最陡的坡度往下走。速度为零，不代表没有力在推。
两个点表示斜率的斜率。写斜率还有第三种方式，用叫做撇号的小记号： 表示斜率， 表示斜率的斜率。三种写法，同一个意思：
新词
- 的斜率：它的速度。
- 斜率的斜率：加速度。
- “……的变化量”： 就是一小步时间。
- 一个拉长的 S，取自 sum（“求和”）：把面积加起来。
现在，第 1 章的方程读起来就像一句话。质量乘以加速度，等于所有推它的力：推力向上，重力向下，阻力与速度方向相反。这就是牛顿第二定律，一项一项地写出来：
西奥: 所以咖啡的规则讲的是它的速度，而无人机的规则讲的是它的加速度：往下深了一层斜率。这就是为什么无人机会超调、来回摆，而咖啡从来不会吗？
朱恩: 肯定是。咖啡的速度只是跟着差距走。无人机的速度得先攒起来，再耗掉，所以它到达目标时可能还在动。
目前我们知道的
我们搞清楚了什么
- 导数是曲线在某一瞬间的斜率：它变化得有多快。高和快是两回事。
- 像“越热就冷却得越快”这样的规则确定了整条曲线：一种指数逼近。
- 时间常数 τ 是一把尺子：经过 τ 后走完 63%，经过 2τ 后走完 86%，经过 3τ 后走完 95%。
- 用太大的步长来画曲线会制造出虚假的超调和振荡，就像淋浴时那样。
- 斜率的斜率就是加速度：，或 。第 1 章的无人机方程就是关于它的一条规则。
- 积分累积面积，抵消导数。
西奥：“咖啡曲线有个有趣的性质：它的斜率总是与还剩下的差距成正比。有没有一条曲线，它的斜率与它自己成正比呢？”