第 8 章
拉普拉斯探针
测出的一个面积，能告诉我们信号住在哪里吗？
一个探测信号的探针
西奥: 每次我们解什么东西，都是猜一个 ，代进去，然后祈祷。现在再加上重力、初始高度、控制器……我的笔记本都要烧起来了。
朱恩: 我搞工程的时候，诀窍总是把难活变成容易的活。难的是：带斜率的斜率的微积分。容易的是：只用 、、、 的普通代数。
米卡: 所以我们需要一台机器，吃进去一条曲线，吐出来一个东西，让求斜率变成乘法？真有这种东西吗？
真有，而且我们能用手头已有的东西把它造出来。思路是这样的：随便拿一个信号，也就是任意一条随时间变化的曲线 。把它乘上一个探针，也就是第 4 章里的指数函数 （ 为正时它会缩小）。然后测出乘积下方的总面积（第 3 章的累积面积），一直量到 。
就这么简单。放进去一个数 ，出来一个面积。换不同的 试试，你就得到一整条新曲线 。这条曲线就是 的拉普拉斯变换：信号的指纹。两个不同的（正常的）信号绝不会有同一个 ，所以以后我们才能倒过来查答案。
先预测一下！ 取最简单的信号，一个阶跃： 永远不变。当我们把 变得更大时， 下方的面积会怎样？
在小部件里扫一遍 ，这些点描出的正好是 。也试试别的信号。增长的信号 只有在探针缩小得比信号增长更快时，也就是 时，面积才有限。低于这个值，面积就一路跑到无穷大。摆动的 则以另一种方式失败：在 时，它的面积只是在 0 和 1 之间来回晃荡（第 3 章里负面积抵消正面积），永远停不到一个数上。
总面积必须稳定在一个有限值上，这样每个 才能对应一个数。如果探针衰减得太慢，面积就会一直增长，那个 就没有答案。
变换会指出信号的位置
我们仔细看看 。用 探测它，乘积是 ，一个普通的指数函数。只要 ，它就会衰减，面积是 （下一章造表的时候我们再好好推导）。
米卡: 当 接近 时，这个数变得巨大！在 处，探针正好抵消了增长，乘积永远平坦，面积就是无穷大。
西奥: 所以变换恰好在信号所住的 处爆炸。如果你只给我 ，我可以通过寻找它在哪里爆炸来找到信号的 。
米卡: 就像烟雾报警器。让 朝 走过去，它就叫得越来越响。一踩到 上，它就再也停不下来。
现在让 变成复数，，就像第 5 章里那些旋转的数。拿第 6 章弹簧的旋转子 （它那对孪生中的一半）当作信号。探针 让它缩小（这是左右方向的部分，），同时让它反向旋转（这是上下方向的部分，）。下面，乘积的一小块一小块面积被画成箭头，首尾相接地加起来，每四分之一秒一支箭头。盯着累计总和看。
朱恩: 当探针的旋转速度恰好是 2 时，信号不再旋转，所有小块都指向同一个方向，总和达到最大：，当 σ 缩小到 0 时它会跑到无穷大。当它们不匹配时，箭头会绕圈并相互抵消。
同样的道理，升高一个维度：变换会在信号所对应的那个复数 处爆炸。这就是为什么从现在起，我们会把每个 画在一张图上，横轴是 ，纵轴是 。我们在第 6 章里的“ 的地图”终于有了它成熟的名字：s 平面。
新词
- s 平面
- 复数 的地图。向左表示缩小，向右表示增长，向上和向下表示旋转。每个信号 都生活在图上的一个点，而它的变换就在那里爆炸。
我们现在知道什么
我们搞清楚了什么
- 拉普拉斯变换是一个探针：乘以 并测量总面积。。
- 它恰好在信号所在之处爆炸： 给出 ，在 处发散。对于复数 ，探针会停止旋转信号的旋转。我们把这一切都画在 s 平面上。
- 一直延续到永远的面积也可以是有限的，只要尾巴变细得够快。如果探针衰减得比信号增长还慢，那个 就根本没有变换。
西奥：“所以探针能告诉我们信号住在哪里。可我们想要的是让斜率变成乘法。探针会对斜率做什么？”