第 4 章

指数函数为什么如此神奇

有没有一条曲线，它的斜率就是它自己的复制品？

乘，再乘，一直乘

西奥: 上次说到，咖啡与室温之间的差距，是以与差距本身成正比的速度缩小的。差距大，缩得快。差距小，缩得慢。这会是什么曲线呢？

朱恩: 第 3 章其实已经透露过线索了。每走一小步，差距都会乘以同一个数。那咱们就从最简单的“乘法机器”开始：翻倍。

拿一个每秒翻一倍的东西。1 秒后你有 2。2 秒后，2 × 2 = 4。3 秒后，2 × 2 × 2 = 8。我们把它写成 $2^t$ ：右上角的小 t 数的是乘了几次 2。

把秒数拖到零以下，或者拖到半秒上。零秒意味着还没翻倍，所以 $2^0 = 1$ 。往回退一秒就撤销一次翻倍： $2^{-1} = \tfrac12$ 。而半秒对应的数，必须满足用两次正好等于翻一倍： $\sqrt2 \approx 1.41$ ，因为 1.41 × 1.41 ≈ 2。

米卡: 所以指数不一定是整数。它只是表示“已经乘了多少”，可以是一点点、很多，甚至是负的。

下面把这些翻倍画成一架柱子搭成的梯子。把每一步拆成两半，再拆成四份，再拆成细细的小片，然后到处移动放大镜：

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米卡: 不管放大镜放在哪儿，这一步上升的都是它自身高度的同一个比例。高的柱子升得多，矮的柱子升得少，但比例永远一样。

西奥: 这正是咖啡的性质：变化量与现有的量成正比。再看最后一个读数。步子越来越小时，每秒的“上升 ÷ 高度”会逼近一个数，翻倍时大约是 0.69。先记住它。

一小步一小步地增长

米卡: 我在课本上见过 $e^t$ 。 $e$ 不就是数学家随便喜欢的一个数吗？2.718 什么的，无所谓啦。

朱恩: 别争了。咱们定一条增长规则，看看会冒出什么数。

规则是：每秒增长你现有量的 100%。偷懒的做法是一大步走完：1 秒后你有 1 + 1 = 2。但这就是第 3 章里朱恩的大步技巧。整整一秒，我们都用的是开头的增长速度，可那一堆东西其实一直在变大。

那就走小一点的步子。两步各 50%：1.5 × 1.5 = 2.25。四步各 25%：1.25 × 1.25 × 1.25 × 1.25 ≈ 2.44。每一步增长的，都是已经长大了的那一堆。

米卡: 步数越多，长得越多！步数无穷多，就能得到无穷多。我要发财啦。

先预测一下！ 把这一秒不停地拆下去：一千步、一百万步，想拆多少拆多少。一秒后的总量会怎样？

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米卡: 它停住了！一百步、一千步，永远超不过 2.718。我的无穷财富泡汤了。

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这个上限就是数 $e$ 。当步子变得无穷小时，结果逼近的就是它：

e = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} \approx 2.71828

西奥: 现在把小部件切换到缩小。用 $\left(1 - \frac1n\right)^n$ ，结果落在 $1/e \approx 0.368$ ：剩下 36.8%，也就是走完了 63.2%。这就是第 3 章时间常数尺子上的 63%！

朱恩: 那就是我的咖啡！把一个 τ 切成 n 个手动小步， $\Delta t = \tau/n$ ：每一步都把差距乘以 $1 - \frac1n$ ，所以经过一个 τ 后，差距剩下原来的 $\left(1 - \frac1n\right)^n$ 。一个巨大的步（ $n = 1$ ）正好落在室温上。无穷小的步则剩下 36.8%。

一条复制自己的曲线

现在拿把尺子来找。我们想要一条曲线，它在每一点的斜率都是自身高度的固定倍数。梯子告诉我们，每个指数函数 $b^t$ 都应该符合： $2^t$ 、 $3^t$ 之类的。给每条曲线画上切线，再用斜率除以高度。

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把光标沿着任意一条曲线拖动，斜率 ÷ 高度的读数纹丝不动。每个指数函数都是自身的复制，只是乘了一个固定数。底数为 2 时这个数约为 0.693（正是梯子上步子越缩越小时逼近的那个数）。底数为 3 时约为 1.099。

而恰好有一个底数，这个缩放数正好是 1，于是斜率曲线就正好压在曲线本身上。是哪个底数呢？

\frac{d}{dt}\,e^{t} = e^{t}

米卡: 又是 2.718！跟小步增长得到的是同一个数。两次完全不同的寻找，同一个数。好吧，我收回刚才的话： $e$ 一点也不随便。

西奥: 当然是同一个。“每秒平滑地增长现有量的 100%”，意思就是斜率 = 高度。这是同一个愿望换了两套戏服。

加速变化：e^(at)

现实中的系统并不会都以相同的节奏变化，所以我们给指数加一个旋钮： $e^{at}$ 。数字 a 会拉伸或压缩时间。

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现在，斜率 ÷ 高度在曲线上的每一点都恰好等于 a。想想为什么： $e^{at}$ 就是把 $e^{t}$ 的影片以 a 倍速播放，所以每一处的斜率都陡了 a 倍。a 为正：它会增长（而且增长得越来越快）。a 为负：它会向零缩小，就像咖啡的温差那样。a = 0：它就停在那里不动。

\frac{d}{dt}\,e^{at} = a\,e^{at}

旋钮和底数是同一件事的两种看法： $e^{at} = \left(e^{a}\right)^{t}$ 。每过一秒，曲线就乘以 $e^{a}$ 。

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先预测一下！ 先求 $e^{2t}$ 的斜率，再求那个斜率的斜率。你会得到什么？

\frac{d}{dt}e^{at} = a\,e^{at},\qquad \frac{d^2}{dt^2}e^{at} = a^2\,e^{at}

西奥: 等等，这太厉害了。对于指数函数，求斜率（微积分）变成了乘以 a（只是代数）。

猜一个指数函数

对于一条斜率只是固定的数乘以它本身的规则（没有平方，也没有随时间变化的数），比如我们的咖啡规则，我们可以尝试一个指数函数：把它代进去，看看 a 取什么值时规则成立。其他类型的规则可能需要其他形状。

咖啡规则是 $\frac{dT}{dt} = -\frac{T - 20}{\tau}$ ，其中 τ = 10 分钟。我们猜 $T = 20 + 70\,e^{at}$ （70 是初始差距）。调整 a，直到猜测的斜率与规则要求的一致。

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代数结果与滑块一致。猜测的斜率是 $a \cdot 70e^{at}$ （20 永远不变，所以它的斜率是 0；70 只是跟着一起走）。规则要求的是 $-70e^{at}/\tau$ 。 $70e^{at}$ 在两边都出现并相互抵消：

a \cdot 70e^{at} = -\frac{70e^{at}}{\tau} \quad\Longrightarrow\quad a = -\frac{1}{\tau}

西奥: 而且它正好落在我们在第 3 章手工构建的那些点上。猜指数函数的方法奏效了。确定 a 的方程叫做特征方程。

弹簧打破了我们的技巧

朱恩: 让我们拿一个会弹跳的东西试试。弹簧上的质量块基本上就是 P 控制下的无人机：离目标越远，被拉回得越用力。

弹簧以力 $-kx$ 拉回。力 = 质量 × 加速度，而加速度是斜率的斜率（第 3 章）。所以规则是：

m\,\frac{d^2x}{dt^2} = -k\,x

猜 $x = e^{at}$ 。斜率的斜率是 $a^2 e^{at}$ ，所以 $m a^2 e^{at} = -k e^{at}$ 。约掉 $e^{at}$ ：

a^2 = -\frac{k}{m}

当 k/m = 4 时，我们需要一个平方为 −4 的数。找找看：

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西奥: 平方永远不会是负数。蓝色抛物线永远碰不到绿色直线。所以没有这样的 a。我们的招数失败了：弹簧就是没法用指数来描述。

米卡: 可弹簧就在那儿，欢快地弹着。它确实有运动。也许错的不是弹簧，而是我们对什么算作数的想法？

西奥: ……嗯。我承认我说“没有数”说得有点快。我知道的每个数平方后都是正数。

目前我们知道的

我们搞清楚了什么

$b^t$ 表示“乘以 b，乘 t 次”，而 t 可以是任何数： $2^0 = 1$ ， $2^{-1} = \tfrac12$ ， $2^{0.5} = \sqrt2$ 。
每秒增长 100%，步子越拆越小，结果会趋于 $e \approx 2.718$ 。用同样的方式缩小，剩下 $1/e \approx 0.368$ ：这就是第 3 章那把 63% 的尺子。
每个指数函数的斜率都是它自己的翻版：斜率 ÷ 高度是常数。
$e \approx 2.718$ 就是让这个比值恰好等于 1 的底数。对于 $e^{at}$ ，这个比值就是 a。
对 $e^{at}$ 求斜率，只是乘以 a。微积分变成了代数。
猜一个指数函数，把它代入规则，再解出 a。对咖啡来说，a = −1/τ。
对弹簧来说，这个猜测要求 $a^2 = -k/m$ ，而普通数字做不到这一点。暂时还不行。

无人机和弹簧会来回摆动。指数只会增长或衰减。除非……某个数的平方可以是负数？

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