第 7 章

无人机的真实个性

无人机为什么会像弹簧一样弹跳？

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控制器就是一个弹簧

米卡: 朱恩问，我们的无人机在地图上处于什么位置。线索：还记得第 2 章里那个弹来弹去的无人机吗？我们把 Kp\eff{K_p} 调得越大，它就弹得越厉害。它看起来完全就像挂在弹簧上的重物。

西奥: “看起来像”不算证据。我们把它们并排放好，把两个方程都写下来。

左边：一个 0.5 kg 的质量块挂在弹簧和阻尼器上（一个充满油的小活塞，用来阻碍运动）。右边：我们的无人机，同样的质量，同样的阻力，在比例控制下。

先把作用在质量块上的每一个力都写下来，一个一个来。位置 xx 从静止点开始量，向上为正。

  • 弹簧把它往静止点拉回去，拉伸得越远，拉得越用力：−k x-\eff{k}\,x。拉伸两倍远，拉力就是两倍。
  • 阻尼器对抗的是运动，而不是位置：−c x˙-c\,\dot{x}。静止不动时，它什么也不做。动得越快，它往回推得越用力。（x˙\dot{x} 就是第 3 章里的速度。）
  • 重力只是让静止点稍微往下移一点。从静止点开始量，就把它处理掉了。

力 = 质量 × 加速度，而加速度是斜率的斜率（第 3 章）。把各个力加起来，再把所有项移到一边：

m x¨=−k x−c x˙⟹m x¨+c x˙+k x=0m\,\ddot{x} = -\eff{k}\,x - c\,\dot{x} \quad\Longrightarrow\quad m\,\ddot{x} + c\,\dot{x} + \eff{k}\,x = 0

米卡: 所以阻尼器说白了就是讨厌速度的空气？

西奥: 差不多。而且对我们的无人机来说，阻尼器就是空气。

在小部件里，质量块上的橙色箭头是弹簧的拉力，灰色箭头是阻尼器的推力。注意看：每当质量块在摆动的最高点或最低点停下一瞬间，阻尼器的箭头就消失了。

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朱恩: 两条曲线完全重合。不是相似。是一模一样。

看看这两个方程。弹簧用 k x\eff{k}\,x 的力往回推：拉伸得越远，拉得越用力。我们的控制器用 Kp(2−h)\eff{K_p}(\sp{2} - \out{h}) 的力去推：离给定值越远，推得越用力。同样的规则。 控制器就是一根弹簧：一根看不见的弹簧，把无人机拉向 2 m。

西奥: 所以 P 控制器就是一根虚拟弹簧，空气阻力 cc 就是一个虚拟阻尼器。我们学到的关于弹簧的一切，都可以免费拿来用。

两个性格旋钮

每一个质量-弹簧-阻尼系统，也就是每一架 P 控制的无人机，都只用两个数来描述。我们一个一个地把它们找出来。

有多快：自然频率

把阻尼器拿掉，我们就回到了第 6 章：弹簧按 cos⁡(ωt)\cos(\omega t) 摆动，其中 ω=k/m\omega = \sqrt{k/m}。我们把这个快慢叫作自然频率 ωn\omega_n：没有任何东西让它慢下来时，系统想要摆动的快慢。

ωn=km每 2πωn s 完整摆动一次\omega_n = \sqrt{\frac{\eff{k}}{m}} \qquad\qquad \text{每 } \frac{2\pi}{\omega_n} \text{ s 完整摆动一次}

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米卡: 弹簧越硬，摆得越快。那我把 k\eff{k} 拉满，一切都更好了！

弹簧越硬，拉得越用力，所以摆得越快。质量越重，越难推动，所以摆得越慢。（弧度每秒就是第 5 章里的旋转速度：转一整圈是 2π 弧度，也就是 2π 个半径长的轮缘。）

西奥: 小心。第 2 章里把 Kp\eff{K_p} 调大，无人机变快了，也更爱弹了。先听听阻尼器怎么说。

有多弹：阻尼比

现在把阻尼器放回去。多少阻尼才算“很多”？这取决于弹簧：能驯服软弹簧的阻尼器，几乎拖不慢硬弹簧。所以我们拿一个特殊的量来比较，那就是临界阻尼 ccritc_{\text{crit}}：刚好完全消除超调的最小阻尼。

ccrit=2m kζ=cccrit=c2m kc_{\text{crit}} = 2\sqrt{m\,\eff{k}} \qquad\qquad \zeta = \frac{c}{c_{\text{crit}}} = \frac{c}{2\sqrt{m\,\eff{k}}}

阻尼比 ζ（希腊字母 zeta）就是我们的阻尼占这个量的比例。它是一个纯数，没有单位。ζ = 0 会永远摆下去，ζ = 1 正好是临界，ζ = 0.5 的阻尼只有消除超调所需的一半。

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朱恩: 等等，0.16？这正好是第一个小部件里无人机的 ζ！

西奥: 质量一样、阻力一样、刚度一样，ζ 当然也一样。弹簧和无人机真是双胞胎。

地图上的两个点

现在回到 ss 的地图。像第 4 章和第 6 章那样猜 x=estx = e^{st}，方程就变成 ms2+cs+k=0m s^2 + c s + k = 0。两边除以 mm，再用我们的两个旋钮写出这两个系数：

s2+cm⏟2ζωn s+km⏟ωn2=0s^2 + \underbrace{\frac{c}{m}}_{2\zeta\omega_n}\, s + \underbrace{\frac{\eff{k}}{m}}_{\omega_n^2} = 0

西奥: 等一下。那个 2ζωn2\zeta\omega_n 是从哪儿来的？看起来像是凭空编出来的。

朱恩: 乘出来看看：2ζωn=2⋅c2mk⋅km=cm2\zeta\omega_n = 2 \cdot \frac{c}{2\sqrt{mk}} \cdot \sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{c}{m}。还是同一个数，只是换了个名字，这样我们的两个旋钮就出现在方程里了。

用求根公式解它，就得到两个 ss 值：

s2+2ζωn s+ωn2=0⟹s=−ζωn±ωnζ2−1\begin{aligned} & s^2 + 2\zeta\omega_n\, s + \omega_n^2 = 0 \\ \Longrightarrow\quad & s = -\zeta\omega_n \pm \omega_n\sqrt{\zeta^2 - 1} \end{aligned}

± 号给出两个答案，对应两个点。点的左右位置是 σ（sigma）：这部分运动收缩得有多快。它的高度是 ω：它旋转得有多快。当阻尼小于 1 时，两个点左右位置相同，但高度相反。等于 1 时它们重合；大于 1 时两个点都落在水平轴上。

新词

阶跃响应
系统对目标突然跳变（这里是从 0 跳到 1 m）的反应。这是展示系统性格的标准方式。
调节时间（2%）
响应从此一直保持在目标的 2% 以内，需要多长时间。

拨动这两个旋钮试试。观察图上的蓝点：它们就是 ss 的两个取值，在最终稳定下来的高度之上，运动是 es1te^{s_1 t} 和 es2te^{s_2 t} 的混合。（恰好在 ζ = 1 时，两个点合成一个，第二种成分变成 t es1tt\,e^{s_1 t}。）

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新词

欠阻尼（ζ<1\zeta < 1）
这两个 ss 值是一对关于实轴对称的镜像点，位于半径为 ωn\omega_n 的圆上。响应会超调并来回振荡，然后才稳定下来。
临界阻尼（ζ=1\zeta = 1）
这一对在实轴上相遇，合成一个重根点，所以运动是 (A+B t) e−ωnt(A + B\,t)\,e^{-\omega_n t}。这是不会超调的最快响应。
过阻尼（ζ>1\zeta > 1）
这一对沿实轴分开：一个向左移动，一个慢慢爬向零点。不会超调，但很迟钝。

欠阻尼的点里还藏着一个细节：它们的高度是 ωn1−ζ2\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}，比 ωn\omega_n 小一点。阻尼不只是让晃动变小，还会让它稍微变慢。这就是阻尼振荡频率 ωd\omega_d，小部件里会显示它。

ωd=ωn1−ζ2\omega_d = \omega_n\sqrt{1 - \zeta^2}

米卡: 所以第 6 章里的螺旋线一直就是无人机的性格。旋转 = 振荡，收缩 = 稳定！

阻尼越大总是越好吗？

朱恩: 简单。振荡不好，阻尼能消灭振荡。所以为了保险，我设 ζ=5\zeta = 5。史上最安全的无人机。

先预测一下！ 同样的弹簧，同样的 ωn\omega_n。我们把阻尼从 ζ=1\zeta = 1 提高到 ζ=3\zeta = 3。它到达目标会更快还是更慢？

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朱恩: 我那台“安全”的无人机慢得要命。就像在蜂蜜里移动一样。

米卡: 看这张图！有一个点飞快地跑到左边去了。但另一个点却停在非常靠近零的位置。

西奥: 而 este^{st} 在 ss 接近零时会非常缓慢地衰减。快的那个一眨眼就没了。慢的那个才是主导。

运动中每一个 este^{st} 成分都叫作一个模态。运动是几个模态的混合，快的那些消失之后，就只剩下最慢的那个。所以对于这个阶跃响应，实际出现的最慢模态决定了漫长的等待时间。

阻尼太小会振荡；阻尼太大则会缓慢爬行。两者之间有一个最佳点。在竞赛里选 ζ = 0.7：它的超调不到 5%，但进入目标的 5% 以内比 ζ = 1 早得多。许多设计把 ζ 定在大约 0.7 到 1 之间，用一点点超调换取速度。其他任务可能偏好不同的平衡。

回到无人机

现在第 2 章终于讲得通了。对于我们的无人机，弹簧常数就是增益：

ωn=Kpm,ζ=c2m Kp\omega_n = \sqrt{\frac{\eff{K_p}}{m}}, \qquad \zeta = \frac{c}{2\sqrt{m\,\eff{K_p}}}

Kp\eff{K_p} 位于阻尼公式的分母。调大增益会让无人机更快（ωn\omega_n 更大），但阻尼更小。当 Kp=20\eff{K_p} = 20 N/m 时：ζ=1/(20.5×20)≈0.16\zeta = 1/(2\sqrt{0.5 \times 20}) \approx 0.16。非常弹跳，正如我们所见。在图上，它的两个 ss 值位于很靠上的位置，只比竖直轴稍微偏左一点。这就是我们无人机所处的位置。

西奥: 而且我们无法在不把 Kp\eff{K_p} 调得很低的情况下获得更多阻尼，而这又会带回静差。我们需要一种刻意增加阻尼的方法。

拖动增益，在一句话里看清这个权衡：

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箭头有长度，也有角度

米卡: 等等。这些点都在半径为 ωn\omega_n 的圆上，ζ 只是让它们绕着圆滑动。所以一个点其实是两样东西：离 0 有多远，以及朝哪个方向。

每支箭头 z=a+b iz = a + b\,i 都可以换一种说法：用它的长度 ∣z∣|z|（课本上叫模）和它的角度（课本上叫辐角）。长度由勾股定理给出。对于指向右边的箭头（a>0a > 0），角度就是“升高 ÷ 前进”（也就是斜率）等于 b/ab/a 的那个角。它的名字叫反正切，写作 arctan⁡\arctan：正切的撤销键。

∣z∣=a2+b2,∠z=arctan⁡ba(a>0)|z| = \sqrt{a^2 + b^2}, \qquad \angle z = \arctan\frac{b}{a} \quad (a > 0)

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第 5 章发现，箭头相乘就是长度相乘、角度相加。除法要把这一步撤销，所以是长度相除、角度相减。

西奥: 那么 1/(1+i)1/(1+i)：长度是 1/21/\sqrt 2，角度是 45° 加 45°，也就是 90°？嗯。再把它乘回 1+i1+i，它指向 135°，离 1 差得远呢。

朱恩: 那就是减。长 1/21/\sqrt 2，角度 −45°。乘以长 2\sqrt 2、角度 +45° 的箭头，得到长度 1、角度 0°：正好是 1。验算通过。

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那支淡淡的虚线箭头，就是第 6 章里的镜像孪生 zˉ=a−b i\bar z = a - b\,i（数学家管它叫共轭复数）：长度相同，角度相反。把一支箭头乘以它的孪生，角度就抵消了，只剩下一个普通的正数：长度的平方。第 9 章的表正好需要这个：

z zˉ=∣z∣2=a2+b2,(s−iω)(s+iω)=s2+ω2z\,\bar z = |z|^2 = a^2 + b^2, \qquad (s - i\omega)(s + i\omega) = s^2 + \omega^2

那个圆又是怎么回事？位于 −ζωn+i ωn1−ζ2-\zeta\omega_n + i\,\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} 的极点，长度是 ωn\omega_n。从负实轴开始量它的角度 θ，向左的部分就是 ωncos⁡θ\omega_n\cos\theta。所以 ζ=cos⁡θ\zeta = \cos\theta：阻尼就是角度。

朱恩: 试试小部件里的第二种设置：1 + iωτ。这就是第 3 章的咖啡规则遇上了摆动。除以它会让箭头缩短并往回转，摆动越快，缩得越多、转得越多，但永远不会超过四分之一圈。我敢打赌，淋浴一定很在乎这个。

新词

长度 ∣z∣|z|
箭头有多长：a2+b2\sqrt{a^2+b^2}，其中 z=a+b iz = a + b\,i。箭头相乘，长度也相乘。
角度 ∠z\angle z
箭头指向哪个方向，从正实轴算起。对于指向右边的箭头，就是 arctan⁡(b/a)\arctan(b/a)。相乘时角度相加，相除时角度相减。
镜像孪生 zˉ\bar z
把箭头沿实轴翻过来得到的 a−b ia - b\,i（共轭复数）。z zˉ=∣z∣2z\,\bar z = |z|^2。

我们现在知道什么

我们搞清楚了什么

  • 一个 P 控制的无人机完全遵循与弹簧上的质量相同的方程：控制器就是一个虚拟弹簧。
  • 两个数字概括了它的特性：ωn\omega_n（多快）和 ζ\zeta（多弹跳）。
  • ωn=k/m\omega_n = \sqrt{k/m} 是没有阻尼器时的摆动快慢。ζ=c/ccrit\zeta = c/c_{\text{crit}} 把阻尼与临界阻尼 2mk2\sqrt{mk}（刚好消除超调的阻尼）相比较。
  • 运动是两个 este^{st} 项的混合。在欠阻尼时，两个 ss 值位于半径为 ωn\omega_n 的圆上；在过阻尼时，它们沿实轴分开。
  • 箭头有长度和角度（arctan⁡\arctan）。相乘就是长度相乘、角度相加；相除就是长度相除、角度相减。ζ=cos⁡θ\zeta = \cos\theta。
  • 阻尼还会让晃动稍微变慢：ωd=ωn1−ζ2\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}。
  • 阻尼并不是越大越好：一旦超过 ζ=1\zeta = 1，那个较慢的 ss 值就会慢慢趋近于零，整个系统也就跟着变慢了。
  • 对无人机来说，KpK_p 越大，阻尼就越小。这就是它变得更晃的原因。

西奥：“我们靠猜得出了这些 ss 值。再加上重力、风、包裹和更聪明的控制器，猜就变得很难看了。有没有一种机器能把这套微积分变成普通代数？”

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