无人机挑战

任务简报

朱恩: 好。真无人机，真送货。它带着包裹起飞，挺过一阵风，投下包裹，全程保持 2 米。二十秒。

米卡: 而且飞行过程中我们不允许碰任何东西？

西奥: 这正是关键。控制器得靠自己搞定。我们只挑三个数。好吧，四个：还有滤波器。

任务，一秒一秒地看：

• 0 秒： 带着 0.2 kg 的包裹从地面起飞（总共 0.7 kg）。
• 6–9 秒： 一阵向下的阵风以 1.5 N 的力推它。
• 12 秒： 包裹掉落。无人机突然轻了 0.2 kg。
• 20 秒： 任务结束。

为了这场压轴戏，我们的无人机模型要变得更老实一点。下面每一条都是真实无人机必须面对的，而且每一条都是前面章节的老朋友：

• 电机滞后（τ ≈ 0.05 s）： 螺旋桨没法瞬间改变转速。它的推力跟着指令走，就像第 3 章那杯慢慢变凉的咖啡，是一个一阶滞后：0.05 s 后走完 63%。晚到的一推，就是乔装打扮的第 12 章相位滞后。
• **有噪声的传感器（$\sigma_n$ ≈ 2 cm，n 取自英文 noise（噪声）；不是极点的 σ）：** 每个高度读数都随机偏差大约 2 cm，每秒一千次。第 11 章警告过我们：D 会把这种抖动变成巨大的推力尖峰。
• 有限的电机（0 到 20 N）： 第 10 章的电机限制照样生效。带上包裹，无人机重 6.9 N，所以 20 N 只是它重量的三倍左右，而且电机永远不能往下拉。电机顶在极限上时，那堆面积会暂停增长（第 11 章的抗积分饱和）。
• D 经过滤波： 第 11 章的办法。D 对平滑后的传感器读数求斜率，平滑用的是一个一阶滞后，时间常数 $\tau_f$ 由你来选。$\tau_f$ 越长越平静，但也越迟。

第 13 章：无人机挑战 ↗

第 12 章会这样画。这是无人机自己的回路，六星调参绕回路一圈：控制器、电机、无人机。拖动电机滞后，看着相位往下弯。

第 13 章：无人机挑战 ↗

西奥: 没有滞后时，相位永远到不了 −180°，所以根本没有悬崖：不管你把增益调得多高，这个回路都永远够不到第 10 章的 −1。正是电机那一点点滞后，造出了悬崖。

先预测一下！ 当包裹在 12 秒时掉落，哪一项承担了主要作用，让无人机精确回到 2 米？

第 13 章：无人机挑战 ↗

米卡: 等等。所以包裹掉落后，无人机必须有一阵子飘得偏高一点？那堆面积就是靠这个误差把多余的推力“忘掉”的！

执行任务

每拖动一次滑块，任务就重新开始，上一次飞行会留下一个影子。小小的 s 平面显示的是标称极点：电机滞后和滤波器都算进去了，只有噪声、包裹和电机限制没算。这样你就能看到线性的那张图，而真实又凌乱的飞行就在它旁边进行。六颗星全拿就是金牌。

这些标准是送货客户会在意的：3 s 内稳定下来，任何时候都不超过目标 10%，被阵风吹偏不超过一掌宽（20 cm），包裹掉落后 2 s 内回来，绝不擦到地面，电机也不嗡嗡响（抖动低于 0.5 N）。

到达这颗星的意思是：从到达那一刻起直到 6 s 的阵风之前，真实高度一直保持在 ±5 cm 以内；只是穿过 2 m 一次不算。“电机平静”这颗星看的是 3 到 6 s（起飞之后、阵风之前）推力的标准差：它围绕平均值的典型波动，迟迟稳定不下来和传感器抖动都算在内。把鼠标指向清单里的某一行（或用 Tab 键移过去），就会给它评判的那几秒打上阴影。

第 13 章：无人机挑战 ↗

朱恩: 我在脑子里调出了一个完美控制器：巨大的 $K_d$，极小的滤波器，让 D 瞬间响应。在平静空气里它无懈可击！看……

朱恩: ……电机为什么在尖叫？橙色线全是毛刺，现在还超调了！

西奥: 第 11 章，警告 2。大 $K_d$ 配上极小的滤波器，会把传感器每 2 cm 的抖动都变成推力尖峰。而这些尖峰在 0 N 处被限幅的次数远多于在 20 N 处（淡橙色线显示控制器要求的推力：看看它多频繁地碰到 0 N），所以它们额外加了一股偏向一边的推力。这就是超调，和第 11 章抓到的是同一种向上漂移。它之前之所以完美无缺，只是因为你想象中的平静空气配了一个完美的传感器。

第 13 章：无人机挑战 ↗

试试朱恩的平静空气调参，看着“电机平静”那颗星拿不到。然后把滤波器加长到 0.04 s，把 $K_d$ 降到 7 左右。在 $K_d$ = 7 时，它大约 1.9 s 到达，而不是朱恩梦想中的 1.3 s：这就是电机平静的代价。这种取舍，速度对噪声、速度对鲁棒性，就是控制工程。

朱恩: 稍微慢一点，电机就不尖叫了。成交。在我脑子里，空气是平静的，传感器也是完美的。

回顾

米卡: 我一开始以为"使劲推"能解决一切。其实恰恰相反，对吧？大部分麻烦都来自对陈旧或有噪声的信息推得太狠。我很庆幸自己把那些傻问题都问了出来。它们没有一个是傻问题。

西奥: 我终于相信拉普拉斯变换了。它不是一张查表：它是一个探针，问信号"你里面有多少 $e^{st}$？"而且因为斜率变成了乘以 $s$，微积分就变成了代数。极点就是答案爆炸的地方：系统正是由那些 $e^{st}$ 构成的。

朱恩: 我还明白了"更多"不等于"更好"：更多增益、更多阻尼、更多 $K_i$、更多速度。总有一道悬崖，好的设计会与它保持一段距离。还有：永远要在无人机上试一试。

这是我们搭建的一切，从淋浴到终章。每个气泡都链回它诞生的地方。

讲给朋友听

先说你的任务：你拿到了几颗星，哪一颗最难？往下读之前，先把为什么大声说出来。

米卡: 我最难的是平静那颗星。我一个劲儿地加 D 想让电机安静，结果它们只是越来越吵。

检验理解的最好方式就是讲解。在每次回答之前，先试着把你自己的版本大声说出来。然后选出与它最匹配的解释。

再看一张图：状态平面

西奥: 这门课里的每张图，画的都是高度随时间的变化。可光有高度，说不出接下来会发生什么：在 2 m 处往上爬，和在 2 m 处往下掉，完全是两回事。

有两个数能锁定未来：从目标量起的高度 $\Delta h$，以及速度 $v$。它们合在一起，就是无人机的状态。把它们放到同一个平面上，横着是高度，竖着是速度，整段飞行就变成了一个移动的点走出的路径。

它的规则就是第 3 章的斜率，每个数一条：高度按速度变化，速度按第 1 章方程里的加速度变化。先把悬停推力处理掉，再加上 PD 控制 $T = -K_p\,\Delta h - K_d\,v$，两条规则就能装进一张表里：

这张表 $A$ 就是一个矩阵：把它乘到状态上，出来的就是状态的变化速度。它的上面一行说高度按速度变化；下面一行就是牛顿第二定律。

先预测一下！ 取 $K_p$ = 20 N/m、不加 D，无人机从低 1 m 处静止出发。它的状态会画出一条什么样的路径？

第 13 章：无人机挑战 ↗

朱恩: 这就是第 6 章的螺旋线！而当我把 $K_d$ 推过大约 5.3，螺旋就被拉直了，沿着两条虚线滑进去。

那两条直线就是模态：刚好从其中一条上出发，状态就会按那个模态自己的速率直直地滑进去。这些速率是矩阵的特殊数，也就是它的特征值，在 $\det(sI - A) = 0$ 的地方找到：

米卡: 这是第 7 章的方程！特征值就是极点。同一架无人机，换了一张图。

而第 10 章的极点游乐场，其实一直在悄悄地做状态反馈：$T = -K_p\,\Delta h - K_d\,v$ 同时推着状态的两个数，选定两个增益，就摆好了两个极点。给状态更多的数（倾斜、旋转、侧向位置），矩阵就会变大，但道理不变：特征值就是极点，把整个状态反馈回去，就能把它们全都摆到想要的位置。

还要再坦白一件事。这门课里的每条规则都是直线规则，可真实的东西会弯。螺旋桨的推力随转速的平方增长，$T = k\,w^2$。在悬停附近，这条曲线几乎是直的，所以我们用它在悬停点的切线来代替它，也就是第 3 章的那把尺子：

第 13 章：无人机挑战 ↗

西奥: 所以那些直线从来都不是谎话。它们是一张放大的局部图：在悬停附近很老实，离得越远就越不准。这就是为什么我们的数学需要无人机待在 2 m 附近。

接下来去哪儿

你现在懂的控制理论，已经比大多数人一辈子接触到的还多了。下面这条路继续往前延伸，每一站都是一本新的笔记本：

• 根轨迹： 不去拖极点，而是拖增益，看极点画出一条条路径。你一眼就能看出哪个 $K_p$ 太大了。
• 状态空间控制： 上面你已经尝过第一口了。同时处理许多传感器和电机：真实的无人机必须同时稳住倾斜、旋转和位置，一次只调一个旋钮的办法就不管用了。
• 数字控制： 真实的控制器跑在计算机上，每隔几毫秒采样一次。采样也是一个小小的延迟，而 s 平面还有个表亲：z 平面。
• 卡尔曼滤波器： 把模型的预测和传感器的读数融合起来，这样用有噪声的传感器也不需要一个慢吞吞的滤波器。
• 史密斯预估器和模型预测控制： 控制器内部带着一个小仿真，能绕过延迟往前看，这才是治淋浴的真正良方。
• 非线性控制和鲁棒控制： 当阻力不是线性的，或者无人机在三维空间里飞时该怎么办，以及如何证明你仍然有裕度。

西奥: 先学根轨迹。我想看着极点在我拧一个旋钮时移动。

下次洗澡时你在滚烫和冰冷之间来回跳舞，你就会清楚到底发生了什么。而且你会知道这不是你的错。是相位裕度的问题。