第 6 章

s 的地图

一个旋转的数怎样造出真实的摆动？每个 s 又是什么样子？

第 6 章：s 的地图 ↗

回到弹簧（以及一个新错误）

朱恩: 上次我们造出了一个会旋转的数。把它交给弹簧，看看它听不听话。

弹簧需要 a2=−k/m=−4a^2 = -k/m = -4。试试 a=2ia = 2i：(2i)2=4 i2=−4(2i)^2 = 4\,i^2 = -4。✓ 而 a=−2ia = -2i 也行。

西奥: 好吧，我错了。猜指数函数的技巧还是管用。弹簧是 e2ite^{2it}，一个旋转器，每……2π 秒转两圈。

米卡: 所以弹簧的位置是 e2ite^{2it}？现在它在……0.4+0.9i0.4 + 0.9i 米处？

朱恩: 弹簧不可能侧向偏出 0.9 米。它只会上下移动。

米卡忘了另一个答案。我们找到了两个解，e2ite^{2it} 和 e−2ite^{-2it}：一个旋转器，以及它的镜像孪生，朝相反方向转。把它们加起来：

第 6 章：s 的地图 ↗

米卡: 侧向的部分完美抵消了！和只是沿着实轴来回滑动。

x(t)=12(eiωt+e−iωt)=cos⁡(ωt),ω=k/mx(t) = \tfrac12\left(e^{i\omega t} + e^{-i\omega t}\right) = \cos(\omega t),\qquad \omega = \sqrt{k/m}

为什么孪生总是在那里？弹簧的规则里只有实数（mm 和 kk，没有 ii）。把一个解上下翻转，把每个 ii 都变成 −i-i，规则根本分辨不出区别：镜像也是一个解。所以对任何真实的东西，旋转器总是成镜像对出现，合在一起时它们的侧向部分相互抵消，剩下的就是我们可以测量的真实摆动。

s 的地图

第 4 章给了我们增长或衰减的指数函数。现在我们有了摆动的旋转器。把它们放在一起：este^{st}，其中 s=σ+iωs = \sigma + i\omega。

est=e(σ+iω)t=eσt⏟增长／衰减⋅eiωt⏟旋转e^{st} = e^{(\sigma + i\omega)t} = \underbrace{e^{\sigma t}}_{\text{增长／衰减}}\cdot\underbrace{e^{i\omega t}}_{\text{旋转}}

所以每个数 s 都是一份配方：σ（沿轴的部分）说明增长或衰减有多快，ω（侧向的部分）说明旋转有多快。它们一起画出一条螺旋线，而螺旋线的影子就是我们能看到的信号。

先预测一下！ 把 s 放在 −0.5+3i-0.5 + 3i 处。este^{st} 的影子看起来是什么样？

第 6 章：s 的地图 ↗

拖动 s（或使用方向键）来游览这张地图：

  • 左半平面（σ < 0）：螺旋缩小，摆动逐渐衰减。
  • 右半平面（σ > 0）：螺旋增大，摆动爆炸式增长。
  • 在竖直线上（σ = 0）：一个完美的圆，永远持续下去的摆动。
  • 在水平线上（ω = 0）：完全不旋转，只是第 4 章里的普通指数。
  • 离水平线越远（往上或往下）：旋转越快，摆动越快。越往左：衰减越快。

朱恩: 所以这张图上的一个点就是一整套性格：它摆动得多快，以及它是会平静下来还是会爆炸。

小小绕个弯：万物都能用旋转表示

最后一个惊喜。取不同速度的旋转器（速度分别是 1、3、5、7……倍），把每一个按恰当的比例缩小，并让它从恰好合适的角度出发，再把它们的影子加起来。只要数量足够多，你就能拼出五花八门的形状，连带尖角的方波也行。

第 6 章：s 的地图 ↗

傅里叶展示了如何用旋转的部件拼出许多周期信号。方波就是一个例子：部件越多，它平坦的部分和尖锐的边缘就越清晰。这是描述信号的一种强大方式，其中的条件和限制我们以后可以再探讨。

目前我们知道了什么

我们搞清楚了什么

  • 真实的波动来自镜像成对的旋转箭头，它们侧向的部分相互抵消。
  • este^{st}，其中 s=σ+iωs = \sigma + i\omega，它一边旋转一边增长或衰减：一条螺旋线。它的影子就是逐渐增强或逐渐消亡的摆动。
  • s 的地图：左边会平静下来，右边会爆炸，往上意味着更快的波动。
  • 许多周期信号，连方波在内，都能用不同速度的旋转器相加拼出来（傅里叶）。紧挨着跳变的地方，和总是会超出跳变幅度的大约 9%。

朱恩：“那么我们的无人机住在这张地图上的哪里呢？”

第 6 章：s 的地图 ↗