第 5 章

旋转的数

什么样的数平方后能得到 −1？它又为什么会振荡呢？

数就是箭头

米卡: 上次弹簧需要一个满足 $a^2 = -4$ 的数。西奥说这样的数不存在。但它到底长什么样呢？

把每个数都想象成从 0 出发、沿着数轴的一个箭头。乘以 2 会把箭头拉长。乘以 ½ 会把它缩短。而乘以 −1 会把它翻转过来，指向相反的方向。这就是一个半圈旋转。

朱恩: 哦。如果 ×(−1) 是转半圈……那半圈的一半是什么？是四分之一圈！箭头会笔直朝上，离开数轴。

我们给这四分之一圈起个名字：i。转两次就是半圈，也就是 ×(−1)。所以 $i \cdot i = -1$ 。这就是我们要找的那个平方为负数的数！

i^2 = -1 \qquad\text{（两个四分之一圈 = 半圈）}

西奥: 等等。这些就是“虚数”。谁都知道它们是凭空捏造的。它们不可能描述一个真实的、物理的弹簧。

朱恩: 它们不是虚构的，它们是朝侧面的！它只是一个二维箭头。向左转和向前走一样真实。

像 $3 + 2i$ 这样的数，意思就是“沿数轴走 3 步，再向侧面走 2 步”。整个箭头平面就是接下来一切内容的舞台。

朱恩: 如果 i 是四分之一圈，那我们以后就要整天转箭头了。那该怎么说一支箭头转了多少呢？

角度制是个老习惯：一圈 360 度，因为某部古老的历法偏爱 360。数学家用圆本身来度量转动。滚动一个半径为 1 的轮子，看看它的边缘滚过了多长。弧度就是这样一个角：它所对的弧长正好是一个半径。

先预测一下！ 整整一圈是多少弧度？

跟着箭头尖看它转动。它在实轴上的影子（数学上叫投影）叫作这个角的余弦， $\cos\theta$ ；它在侧向轴上的影子叫作正弦， $\sin\theta$ 。匀速转动时，两个影子都会画出波，正弦比余弦落后四分之一圈。

米卡: 懂了。那么每秒 2 弧度的旋转器，一秒就转两圈！

西奥: 一秒两圈是 2 圈，也就是 $4\pi$ 弧度。每秒 2 弧度是每 $2\pi/2 \approx 3.14$ 秒才转一整圈。

转动的快慢用弧度每秒来度量：一个每秒转 2 弧度的旋转器 $2\pi/2 \approx 3.14$ 秒转完一整圈。符号 ω 表示的就是这个转动速度。

现在想象一个点以恒定速度 ω 弧度每秒绕圆运动。它的速度指向哪里？（这里的速度是第 3 章的速度再加上方向，所以运动箭头的速度本身也是一支箭头：箭头尖往哪边动、动得多快。）始终沿着圆的切线方向，也就是比指向该点的箭头超前四分之一圈。

四分之一圈就是 ×i，而速度是 ω 乘以半径。所以速度就是位置转过四分之一圈后再乘以 ω：速度 = iω × 位置。

西奥: 等等。“斜率等于一个固定数乘以自身”正是第 4 章里的指数性质！只不过这里 a = iω。

米卡: 可是等一下。在第 4 章里，指数表示“已经乘了多少”。那 $e$ 的 $i\theta$ 次方到底是什么意思？把 $e$ 乘上 $i\theta$ 次？

朱恩: 按第 4 章的办法把它搭出来。 $e$ 就是 $n$ 个小步，每步增长 $\frac1n$ 。现在把每个小步换成朝侧面轻轻推一下。

e^{i\theta} = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{i\theta}{n}\right)^{n}

每一步都让箭头转过一个很小的角，大约 $\theta/n$ 弧度，同时把它拉长一点点。步数越多，拉长就越微不足道，路径落在圆上，正好转过 θ 弧度。这就是为什么要用弧度：那些侧向的小推动沿着轮子边缘一点点累加起来。所以 $e^{i\theta}$ 就是圆上角度为 θ 的那个点。

所以 $e^{i\omega t}$ 一点也不可怕。它就是一个点以半径 1 的圆旋转，每秒转 ω 弧度。看着它，再看看它在实轴上的影子：

\begin{aligned}\frac{d}{dt}\,e^{i\omega t} &= i\omega\,e^{i\omega t} \\ \text{实轴上的影子} &= \cos(\omega t)\end{aligned}

影子来回滑动，形成完美的余弦波。一支旋转的箭头，从侧面看，就是一次摆动。摆动一直藏在这里。

米卡：“所以弹簧那个神秘的数终究是存在的：它就是 2i。这是不是说，真正的弹簧会朝侧面摆？”