Kapitel 10

Übertragungsfunktionen, Pole und Nullstellen

Können wir den ganzen Charakter eines Systems an einem Bruch ablesen?

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Das Rezept des Systems

June: Wir beginnen mit der Drohne im Schwebeflug auf 1 m; ein Grundschub von 4,9 N gleicht die Schwerkraft aus. Die gewünschte und die tatsächliche Höhenänderung messen wir relativ zu diesem Ausgangswert. Unmittelbar vor einem neuen Befehl sind beide Änderungen null. Beim Sprungbeispiel steigt der Sollwert bei $t=0$ auf 2 m: Die gewünschte Änderung ist nun 1 m, während die Drohne noch auf 1 m steht.

Theo: Gut, denn letztes Kapitel haben wir die $-h(0)$ -Teile weggelassen, und die Formel hat gelogen. Vom Schweben aus gemessen sind diese Anfangswerte wirklich null, also verschwinden sie diesmal ehrlich.

\Delta\out{H}(s) = \underbrace{\frac{\eff{K_p}}{m s^2 + c s + \eff{K_p}}}_{G(s)} \cdot \Delta\sp{R}(s)

Woher das Rezept kommt

Der Schwebeschub hebt die Schwerkraft auf, also bleiben in der Gleichung der Drohne nur die Änderungen übrig. Jetzt nimm die Regel aus Kapitel 9: Jede Steigung wird zu × $s$ , minus ihrem Anfangswert. Vom Schweben aus ist jeder Anfangswert null, also wird nichts abgezogen:

\begin{gathered} m\,\Delta\out{h}'' + c\,\Delta\out{h}' = \eff{K_p}\,(\Delta\sp{r} - \Delta\out{h}) \\[2pt] \Big\downarrow\ {\scriptstyle \Delta h(0)\,=\,\Delta h'(0)\,=\,0} \\[2pt] (m s^2 + c s + \eff{K_p})\,\Delta\out{H}(s) = \eff{K_p}\,\Delta\sp{R}(s) \end{gathered}

Teile durch $m s^2 + c s + \eff{K_p}$ , und da ist $G(s)$ . Sein Nenner ist genau die Gleichung, die wir in den Kapiteln 4 bis 7 durch Raten von $e^{st}$ bekommen haben.

Mika: Es ist also keine Zauberei. Es ist die eigene Gleichung der Drohne, in der jede Steigung zu einem $s$ geworden ist.

$\Delta\sp{R}(s)$ ist die Transformation der gewünschten Änderung gegenüber 1 m; $\Delta\out{H}(s)$ die der tatsächlichen Änderung. $G(s)$ hängt von Drohne und Regler ab. Das ist die Übertragungsfunktion: Ausgangsänderung geteilt durch Eingangsänderung, wobei beide bei null beginnen.

Im Diagramm stehen weiterhin Höhen über dem Boden. Addiere zur von der Formel vorhergesagten Änderung die Anfangshöhe von 1 m, dann erhältst du die blaue Höhe im Diagramm.

Mika: June hatte recht: Der Bruch ist die Drohne. Er ist so was wie ihr Rezept. Gib irgendeine Zutat rein, und er sagt dir, was rauskommt!

Probier drei verschiedene Eingänge an derselben Drohne aus. Das Rezept ändert sich nie, nur $\Delta\sp{R}(s)$ .

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Neue Wörter

Übertragungsfunktion $G(s)$: Transformierte Ausgangsänderung ÷ transformierte Eingangsänderung, bei Start aus der Ruhe. Für diese lineare Drohne ist sie ein Quotient aus Polynomen in $s$ .
Start aus der Ruhe (Anfangswerte null): Jede Änderung und ihr Tempo ist bei $t = 0$ null, so wie wenn wir vom Schweben aus messen. Dann sind auch die Anfangswert-Terme aus Kapitel 9 wie $-h(0)$ null, und $G(s)$ erzählt die ganze Geschichte.

Pole: wo das System wohnen will

Wo wird $G(s)$ unendlich groß? Wo sein Nenner null ist. Diese Punkte heißen Pole und werden als × gezeichnet. Diese Drohne hat zwei, einen für jede der zwei natürlichen $e^{st}$ -Bewegungen aus Kapitel 7.

In Kapitel 8 hat die Transformation von $e^{at}$ bei $s = a$ geschrien. Lies das rückwärts: Wo auch immer $G$ schreit, versteckt sich eine Bewegung $e^{pt}$ .

June: Die Pole sind also die Modi aus Kapitel 7, und sie sitzen auf der Karte!

Warum Pole die Bewegungen sind

Eine Sprungantwort ist $G(s)$ mal das $\frac{1}{s}$ des Sprungs. Zerleg sie in einfache Stücke, die Partialbruchzerlegung aus Kapitel 9 (ein Spiegelpaar von Polen bekommt Spiegelzwillinge als Zähler): Der eigene Pol des Sprungs bei 0 liefert die Endänderung $A$ , und jeder Pol von $G$ liefert ein Stück $\frac{B}{s-p}$ .

\begin{aligned} \Delta\out{H}(s) = G(s)\cdot\frac{1}{s} &= \frac{A}{s} + \frac{B}{s-p} + \frac{\bar B}{s-\bar p} \\[4pt] \Longrightarrow\quad \Delta\out{h}(t) &= A + B e^{pt} + \bar B e^{\bar p t} \end{aligned}

Die Tabelle aus Kapitel 9 verwandelt jedes Stück zurück in eine Bewegung. Etwas anderes kann nicht auftauchen: Die Pole sind die ganze Besetzung.

Theo: Und ein Pol mit $\sigma > 0$ ist ein Stück, das wächst. Kein Wunder, dass die rechte Hälfte explodiert.

Jetzt drehen wir den Spieß um. Statt Verstärkungen zu wählen und die Pole zu suchen, ziehen wir die Pole und schauen, was für eine Drohne wir bekommen. Dafür braucht es einen zweiten Knopf, $\eff{K_d}$ : ein Gegendrücken gegen das Tempo, das wir in Kapitel 11 richtig kennenlernen. Es kommt zum Luftwiderstand $c$ dazu, und die zwei Lösungen sind $p$ und sein Spiegelzwilling $\bar p$ (der Strich dreht das Vorzeichen des Imaginärteils um, wie bei den Zwillingen aus Kapitel 6):

\begin{aligned} & m s^2 + (c + \eff{K_d})\,s + \eff{K_p} = 0 \\ \Longrightarrow\quad & s = p,\ \bar p \qquad \text{(die Pole)} \end{aligned}

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Erst tippen! Was macht die Drohne, wenn wir die Pole in die rechte Hälfte der s-Ebene ziehen?

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Die Karte lesen

Spiel damit. Ein paar Regeln springen sofort ins Auge, und jede ist ein alter Bekannter in Verkleidung:

Linke Hälfte = beruhigt sich, rechte Hälfte = explodiert. Der Realteil $\sigma$ ist die Schrumpf- oder Wachstumsrate von $e^{\sigma t}$ .
Weiter links = schneller. Das Einschwingen dauert etwa $4/|\sigma|$ Sekunden (die gestrichelten senkrechten Linien): die vier Zeitkonstanten aus Kapitel 7, denn $e^{-|\sigma| t}$ liegt nach $\ln 50/|\sigma| \approx 3{,}9/|\sigma|$ Sekunden unter 2 %.
Weiter oben = wackeliger. Die Höhe $\omega$ ist die gedämpfte Eigenkreisfrequenz aus Kapitel 7, also dauert ein Wackler $2\pi/\omega$ Sekunden.
Der Winkel bestimmt das Überschwingen. Der Winkel $\theta$ zur negativen reellen Achse liefert $\zeta = \cos\theta$ (der Kreis aus Kapitel 7), und das Überschwingen ist $e^{-\pi|\sigma|/\omega}$ (die gestrichelten Strahlen). Nahe der reellen Achse schwingt sie kaum über, nahe der senkrechten Achse stark. (Exakt für zwei Pole ohne Nullstelle, Start aus der Ruhe. Eine Nullstelle ändert das: Im nächsten Abschnitt macht eine aus 12 % dann 15 %.)

Mika: Ich wollte nur einen Pol weit oben und einen weit unten. Es lässt mich nicht! Der untere macht dem oberen alles nach.

Theo: Erinnerst du dich an die Zwillingsdreher aus Kapitel 6? Eine echte Drohne macht echte Bewegungen, also braucht jedes drehende $e^{st}$ seinen Spiegelzwilling, damit sich die imaginären Teile aufheben. Komplexe Pole kommen immer in Spiegelpaaren.

Warum der Winkel das Überschwingen bestimmt

Die Drohne fliegt am Ziel vorbei und kehrt nach einem halben Wackler um, bei $t = \pi/\omega$ . Bis dahin hat das schrumpfende $e^{-|\sigma| t}$ so lange gearbeitet, und was vom Schwung übrig ist, ist das Überschwingen. Nur das Verhältnis $|\sigma|/\omega$ zählt, und dieses Verhältnis ist der Winkel des Pols. Auf dem Kreis aus Kapitel 7 ist der Kosinus dieses Winkels $\zeta$ .

\begin{aligned} t_{\text{Spitze}} &= \frac{\pi}{\omega} \\[4pt] \text{Überschwingen} &= e^{-|\sigma|\,t_{\text{Spitze}}} = e^{-\pi|\sigma|/\omega} \\[4pt] &= e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}, \qquad \zeta = \cos\theta \end{aligned}

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Theo: Jeder Strahl von 0 aus ist also ein $\zeta$ und ein Überschwingen.

Erst tippen! Lass $\sigma = -2$ und schieb die Pole senkrecht nach oben, von $\pm 4i$ auf $\pm 8i$ . Was ändert sich?

June: Der Spielplatz ist gesprungen, als wir geantwortet haben: Das Geisterpaar sitzt bei $\pm 4i$ , das neue bei $\pm 8i$ . Gleiche Hüllkurve, doppelt so viele Wackler und ein viel größerer erster Schwung.

Mika: Was, wenn beide Pole auf der reellen Achse sitzen, einer bei $-0{,}2$ und einer bei $-5$ ?

June: Der Schnelle ist in einer Sekunde weg. Der Langsame ist der Boss.

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Neue Wörter

Pol: Ein Wert von $s$ , bei dem die Übertragungsfunktion unendlich groß wird. Jeder Pol $p$ ist eine Bewegung $e^{pt}$ des Systems.
Spiegelpaar $p,\ \bar p$: Zwei Pole mit gleichem Realteil und entgegengesetztem Imaginärteil. Komplexe Pole eines reellen Systems kommen immer so.
Dominanter Pol: Der Pol, der der senkrechten Achse am nächsten liegt. Seine langsame Bewegung überdauert die anderen, also bestimmt er meist die Einschwingzeit, außer eine Nullstelle sitzt fast direkt auf ihm (Kapitel 11 hat so eine).

Wie gut ist 4/|σ|?

Die Vier ist das $\ln 50 \approx 3{,}9$ aus Kapitel 7, gerundet: die Zeit, bis die Hüllkurve auf 2 % geschrumpft ist. Die echte Kurve liegt innerhalb ihrer Hüllkurve, also schwingt sie oft etwas früher ein. Später schwingt sie ein, wenn die Pole auf oder nahe der reellen Achse sitzen, denn ein doppelter Pol hat einen Anteil $t\,e^{-|\sigma| t}$ , der nachhängt.

\begin{array}{c|ccccc} \zeta & 0{,}3 & 0{,}5 & 0{,}8 & 0{,}95 & 1 \\ \hline |\sigma|\,T_s & 3{,}37 & 4{,}04 & 3{,}01 & 5{,}00 & 5{,}83 \end{array}

Mika: Ich hab $\sigma = -1$ ausprobiert: Die Regel sagte 4 s, und die echten Zeiten lagen je nach $\zeta$ zwischen 3,0 s und 5,8 s. Gut genug zum Zielen, nicht gut genug für ein Versprechen.

Nullstellen: ein kurzer Blick

Auch der Zähler kann null werden. Diese Punkte heißen Nullstellen, gezeichnet als ○. Meist ändern sie, wie stark die Bewegung jedes Pols am Ausgang erscheint. Liegt eine Nullstelle genau auf einem Pol, kürzt sich der gemeinsame Faktor, und dieser Pol verschwindet aus diesem Rezept von Eingang zu Ausgang. Im System steckt er aber immer noch: Stups die Drohne auf anderem Weg an, mit einer Böe, und diese Bewegung ist wieder da. Das ist sehr wichtig, wenn der versteckte Pol rechts liegt.

Hier ist ein System mit festen Polen bei $-2 \pm 3i$ und einer Nullstelle, die du verschieben kannst. (Das $\eff{K_d}$ unseres Spielplatzes drückt gegen das Tempo der Drohne, also hat sein Rezept keine Nullstelle. Drück stattdessen gegen das Tempo des Fehlers, wie in Kapitel 11, und eine Nullstelle taucht bei $-\eff{K_p}/\eff{K_d}$ auf: Für diese Pole ist das $-6{,}5$ , mit 15 % Überschwingen statt 12 %.)

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June: Gleiche Pole, aber wenn die Nullstelle nah an den Ursprung kommt, springt die Antwort viel schneller hoch und schwingt stärker über!

Theo: Gleiche Pole heißt gleiche Bewegungen. Die Nullstelle kann also keine neue hinzufügen. Sie muss ein bisschen von etwas dazugeben, das wir schon haben.

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Multiplizieren mit $s$ nimmt die Steigung (Kapitel 9), also gibt der Faktor $(1 + s/|z|)$ das $1/|z|$ -Fache der Steigung dazu. Deshalb lässt eine Nullstelle nahe am Ursprung das System so stark auf Änderungen reagieren: Das Überschwingen wächst, obwohl sich die Pole nicht bewegt haben. Weit weg spielt die Nullstelle kaum eine Rolle. Mehr brauchen wir über Nullstellen vorerst nicht.

Neue Wörter

Nullstelle: Ein Wert von $s$ , bei dem die Übertragungsfunktion null ist: eine Bewegung $e^{zt}$ , die das System nicht weitergibt.

Ist weiter links immer besser?

June: Ganz einfach: die Pole ganz weit nach links ziehen. Eingeschwungen im Nu. Beste Drohne aller Zeiten!

Theo: Aber wie viel Schub braucht das? Bisher haben wir so getan, als könnten die Motoren so stark drücken, wie die Mathematik will.

Zeit für Ehrlichkeit. Unsere Motoren können zwischen 0 N und 20 N drücken (etwa das Vierfache des Drohnengewichts). Unten wandern die Pole auf einer 45°-Linie nach links (das ist $\zeta \approx 0{,}71$ , der Sweet Spot aus Kapitel 7). Die gestrichelten Kurven sind die Mathematik mit ausgedachten, unbegrenzten Motoren; die durchgezogenen sind echte Motoren.

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Ab etwa $-3{,}9 \pm 3{,}9i$ verlangt die Mathematik mehr als 20 N. Der orange Schub klatscht gegen die Grenze, und ab etwa $-6 \pm 6i$ will die Mathematik die Drohne sogar nach unten ziehen, was Propeller nicht können. Die echte Drohne folgt der hübschen linearen Vorhersage nicht mehr. Ihr Einschwingen wird ab etwa 0,7 s nicht mehr besser, nahe $-6{,}5 \pm 6{,}5i$ , und weiter links wird es sogar schlechter, mit zusätzlichem Überschwingen.

June: Ich hab ihn ganz bis $-8 \pm 8i$ geschoben. Die Mathematik sagt 0,53 s. Die echte Drohne braucht 0,77 s: langsamer als bei $-6{,}5$ !

Mika: Und ihr Überschwingen ist von 4 % auf 16 % gestiegen. Den ganzen zusätzlichen Schub gab es nie.

June: „Weiter links“ ist also nur besser, bis dir der Motor ausgeht. Pole setzen ist ein Abwägen, kein Wettrennen.

Neue Wörter

Erster Schub: Der Schub, der im ersten Augenblick eines Sprungs verlangt wird: $mg + \eff{K_p}\,\Delta r$ , bevor sich die Drohne bewegt hat.
Schubbudget: Die Polpositionen, die sich die Motoren für einen bestimmten Sprung leisten können: ein Kreis um 0.
Motorgrenze (Sättigung): Der echte Schub wird auf 0–20 N begrenzt, egal was die Mathematik verlangt.

Den Kreis auf dem Papier schließen

June: In Kapitel 1 haben wir den Kreis als Kästchen und Pfeile gezeichnet. Im s-Land multipliziert jedes Kästchen einfach. Können die Kästchen die Algebra für uns erledigen?

Gib jedem Kästchen sein Rezept. Der Regler ist $C(s)$ , vorerst einfach $\eff{K_p}$ . Die Drohne allein, Schubänderung rein und Höhenänderung raus, ist $P(s) = \frac{1}{ms^2 + cs}$ : P für die Regelstrecke (englisch plant, das Wort aus Kapitel 1), nicht das P vom P-Regler. Sie kommt direkt aus der Gleichung der Drohne, genau wie das Rezept oben.

June: Ganz einfach. Der Wunsch geht durch den Regler, dann durch die Drohne. Entlang der Linie multiplizieren!

\Delta\out{H} \overset{?}{=} C\,P\,\Delta\sp{R} = \frac{\eff{K_p}}{ms^2 + cs}\,\Delta\sp{R}

Theo: Pole bei 0 und −2? Gar kein Wackeln, und ein Pol bei 0, der nie zur Ruhe kommt. Das ist die Steuerung aus Kapitel 1: der Drohne sagen, was sie tun soll, und nie hinschauen. Der Regler sieht den Wunsch gar nicht, June. Er sieht den Fehler.

Der Pfeil von der Drohne zurück ist der ganze Sinn der Rückkopplung. Der Regler arbeitet mit $\Delta\sp{R} - \Delta\out{H}$ , also taucht der Ausgang auf beiden Seiten auf. Sammle ihn und teile:

\begin{aligned} \Delta\out{H} &= C\,P\,\big(\Delta\sp{R} - \Delta\out{H}\big) \\ \Delta\out{H}\,\big(1 + C\,P\big) &= C\,P\,\Delta\sp{R} \\ \Delta\out{H} &= \frac{C\,P}{1 + C\,P}\,\Delta\sp{R} \end{aligned}

Setz $C = \eff{K_p}$ und $P = 1/(ms^2+cs)$ ein und multipliziere dann Zähler und Nenner mit $ms^2 + cs$ :

\frac{C\,P}{1 + C\,P} = \frac{\eff{K_p}/(ms^2+cs)}{1 + \eff{K_p}/(ms^2+cs)} = \frac{\eff{K_p}}{ms^2 + cs + \eff{K_p}}

Mika: Das ist das Rezept vom Anfang dieses Kapitels! Wir haben es zweimal bekommen: einmal aus der Gleichung der Drohne, einmal aus den Kästchen.

Die Pole des Kreises liegen also dort, wo der Nenner $1 + C(s)\,P(s)$ null ist. Das ist dasselbe wie $C\,P = -1$ . Lies $C\,P$ als eine Runde durch den Kreis (im Lehrbuch: die Übertragungsfunktion des offenen Kreises): was erst der Regler und dann die Drohne mit einem Signal machen. An einem Pol bringt eine Runde das Signal gleich groß und umgedreht zurück, und das Minuszeichen im Fehler dreht es wieder um. So hält es sich ganz ohne Wunsch von selbst am Laufen.

1 + C(s)\,P(s) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad C(s)\,P(s) = -1

Probier es an einem gleichmäßigen Wackeln aus, $s = i\omega$ . Eine Runde macht aus dem Pfeil des Wacklers $C(i\omega)\,P(i\omega)$ : kürzer oder länger und zurückgedreht. Das Widget zeichnet diesen Pfeil für jedes Wackeltempo, dazu den Punkt −1, den er erreichen müsste.

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Theo: Egal wie weit ich $\eff{K_p}$ hochschiebe, die Kurve biegt sich Richtung −1, berührt den Punkt aber nie. Am nächsten kommt sie etwa beim eigenen Schwungtempo der Drohne.

Und zwar deshalb: Der Luftwiderstand dreht eine Runde um bis zu 90° zurück, die Masse um bis zu weitere 90°, aber zusammen erreichen sie 180° erst bei unendlich schnellen Wacklern. P-Regelung allein kann diese Drohne also nie zum Kippen bringen. Ein größeres $\eff{K_p}$ lässt die Runde nur näher an −1 vorbeilaufen, und näher heißt weniger Dämpfung: „mehr $K_p$ , mehr Wackeln“ aus Kapitel 2, jetzt als Bild.

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Neue Wörter

Geschlossener Regelkreis: Ein Regler, der mit dem Fehler arbeitet, sodass der Ausgang in seinen eigenen Eingang zurückgeführt wird: $\Delta H = \frac{C\,P}{1 + C\,P}\,\Delta R$ .
Kreisverstärkung $C(s)\,P(s)$: Was eine Runde durch den Kreis mit einem Signal macht. Die Pole des geschlossenen Regelkreises liegen dort, wo sie −1 ist.

Was wir jetzt wissen

Was wir herausgefunden haben

Ja, ein Bruch reicht. Die Übertragungsfunktion $G(s)$ = Änderung am Ausgang ÷ Änderung am Eingang im s-Land, Start aus der Ruhe. Sie ist das Rezept des Systems, $\Delta\out{H} = G\cdot\Delta\sp{R}$ , und sie kommt direkt aus der Gleichung der Drohne.
Pole (×) sind die Stellen, an denen $G(s)$ explodiert: die $e^{pt}$ -Modi, aus denen das System besteht.
Linke Hälfte = stabil, rechte Hälfte = explodiert. Weiter links = schneller (schwingt in etwa $4/|\sigma|$ s ein, eine Faustregel), weiter oben = wackeliger (ein Wackler = $2\pi/\omega$ s), Winkel = Dämpfung $\zeta$ = Überschwingen $e^{-\pi|\sigma|/\omega}$ . Der Pol, der der Achse am nächsten liegt, ist der Boss.
Komplexe Pole kommen immer in Spiegelpaaren.
Nullstellen (○) ändern, wie viel du von jedem Modus bekommst. Nahe am Ursprung geben sie einen Tritt dazu: das $1/|z|$ -Fache der Steigung.
Schließ den Kreis auf dem Papier, und das Rezept ist $\frac{C\,P}{1 + C\,P}$ . Die Pole liegen dort, wo eine Runde durch den Kreis, $C\,P$ , gleich −1 ist.
Der erste Schub ist $mg + m|p|^2$ bei einem Sprung um 1 m, also brauchen weit entfernte Pole Schub, den die Motoren nicht haben.

Theo: „Die Pole sind wunderschön. Aber Moment: Wir haben das ganze Kapitel geschummelt und der Drohne ihren Schwebeschub geschenkt. Ohne ihn lässt die Schwerkraft sie immer noch durchhängen. Unsere Karte ist in Ordnung. Unser Regler muss repariert werden.“

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