Die Laplace-Sonde

Eine Sonde für Signale

Theo: Jedes Mal, wenn wir etwas gelöst haben, haben wir $e^{st}$ geraten, eingesetzt und gebetet. Jetzt noch Schwerkraft, eine Anfangshöhe, ein Regler dazu… mein Notizheft brennt.

June: Wenn ich was baue, ist der Trick immer, aus einer schweren Aufgabe eine leichte zu machen. Schwer: Analysis mit Steigungen von Steigungen. Leicht: schlichte Algebra mit $+$, $-$, $\times$, $\div$.

Mika: Wir brauchen also eine Maschine, die eine Kurve frisst und etwas ausspuckt, in dem Steigungen zu Multiplikation werden? Gibt’s so was?

Gibt es, und wir können sie aus Dingen bauen, die wir schon haben. Die Idee: Nimm irgendein Signal, also irgendeine Kurve, die sich mit der Zeit ändert, $f(t)$. Multiplizier es mit einer Sonde, der Exponentialfunktion $e^{-st}$ aus Kapitel 4 (für positives $s$ schrumpft sie). Dann miss die Gesamtfläche unter dem Produkt (die aufsummierte Fläche aus Kapitel 3), ganz bis hinaus zu $t = \infty$.

Das ist alles. Eine Zahl $s$ geht rein, eine Fläche kommt raus. Probier verschiedene $s$-Werte aus, und du bekommst eine ganz neue Kurve $F(s)$. Diese Kurve ist die Laplace-Transformation von $f$: ein Fingerabdruck des Signals. Zwei verschiedene (vernünftige) Signale haben nie dasselbe $F(s)$. Deshalb können wir Antworten später auch rückwärts nachschlagen.

Erst tippen! Nimm das einfachste Signal, einen Sprung: $f(t) = 1$ für immer. Wir machen $s$ größer. Was passiert dann mit der Fläche unter $1 \cdot e^{-st}$?

Kapitel 8: Die Laplace-Sonde ↗

Kapitel 8: Die Laplace-Sonde ↗

Fahr $s$ im Widget durch, und die Punkte zeichnen genau dieses $1/s$ nach. Probier auch die anderen Signale aus. Ein wachsendes Signal $e^{0{,}5t}$ hat nur dann eine endliche Fläche, wenn die Sonde schneller schrumpft, als das Signal wächst, also bei $s > 0{,}5$. Darunter läuft die Fläche ins Unendliche. Das Wackeln $\sin 2t$ scheitert anders: Bei $s = 0$ schwappt seine Fläche nur zwischen 0 und 1 hin und her (die negative Fläche aus Kapitel 3 hebt die positive auf) und kommt nie auf eine einzige Zahl.

Die Gesamtfläche muss sich einem endlichen Wert nähern, damit jedes $s$ eine Zahl bekommt. Klingt die Sonde zu langsam ab, wächst die Fläche immer weiter, und dieses $s$ hat keine Antwort.

Die Transformation schreit dort, wo das Signal wohnt

Schauen wir uns $f(t) = e^{at}$ genauer an. Tasten wir es mit $e^{-st}$ ab, ist das Produkt $e^{(a-s)t}$, eine schlichte Exponentialfunktion. Solange $s > a$ ist, klingt sie ab, und ihre Fläche ist $\frac{1}{s-a}$ (das leiten wir richtig her, wenn wir im nächsten Kapitel unsere Tabelle bauen).

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Mika: Wenn $s$ nah an $a$ kommt, wird die Zahl riesig! Bei $s = a$ hebt die Sonde das Wachstum genau auf, das Produkt ist für immer flach, und die Fläche ist unendlich.

Theo: Die Transformation explodiert also genau bei dem $s$, wo das Signal wohnt. Wenn du mir nur $F(s)$ geben würdest, könnte ich das $a$ des Signals finden, indem ich suche, wo sie explodiert.

Kapitel 8: Die Laplace-Sonde ↗

Mika: Wie ein Rauchmelder. Geh mit $s$ auf $a$ zu, und er wird lauter und lauter. Tritt auf $a$, und er hört nie mehr auf.

Jetzt machen wir $s$ komplex, $s = \sigma + i\omega$, genau wie unsere drehenden Zahlen aus Kapitel 5. Nimm als Signal den Dreher der Feder aus Kapitel 6, $e^{2it}$ (eine Hälfte seines Zwillingspaars). Die Sonde $e^{-st}$ schrumpft ihn (das ist der waagerechte Teil, $\sigma$) und dreht ihn rückwärts (das ist der senkrechte Teil, $\omega$). Unten werden die kleinen Flächenstücke des Produkts als Pfeile Spitze an Ende aneinandergehängt, ein Pfeil pro Viertelsekunde. Schau auf die laufende Summe.

Kapitel 8: Die Laplace-Sonde ↗

June: Wenn sich die Sonde genau mit 2 dreht, hört das Signal auf zu drehen, alle Stücke zeigen in dieselbe Richtung, und die Summe wird so groß, wie es nur geht: $1/\sigma$, und das läuft gegen unendlich, wenn σ auf 0 schrumpft. Wenn sie nicht zusammenpassen, rollen sich die Pfeile ein und heben sich auf.

Dieselbe Lektion, eine Dimension höher: Die Transformation explodiert bei dem komplexen $s$, wo das Signal wohnt. Deshalb zeichnen wir ab jetzt jedes $s$ auf eine Karte mit $\sigma$ nach rechts und $\omega$ nach oben. Unsere „Karte von $s$“ aus Kapitel 6 bekommt endlich ihren erwachsenen Namen: die s-Ebene.

Was wir jetzt wissen

Theo: „Die Sonde sagt uns also, wo ein Signal wohnt. Aber wir wollten, dass aus Steigungen Multiplikation wird. Was macht die Sonde mit einer Steigung?“