Kapitel 5

Drehende Zahlen

Was für eine Zahl könnte zum Quadrat −1 ergeben, und warum sollte sie wackeln?

Zahlen sind Pfeile

Mika: Letztes Mal brauchte die Feder eine Zahl mit $a^2 = -4$ . Theo meinte, so eine Zahl gibt es nicht. Aber wie würde die überhaupt aussehen?

Stell dir jede Zahl als Pfeil vor, der bei 0 startet und am Zahlenstrahl entlang zeigt. Mal 2 streckt den Pfeil. Mal ½ staucht ihn. Und mal −1 dreht ihn um, sodass er in die andere Richtung zeigt. Das ist eine halbe Drehung.

June: Oh! Wenn ×(−1) eine halbe Drehung ist… was ist dann die Hälfte einer halben Drehung? Eine Vierteldrehung! Der Pfeil würde senkrecht nach oben zeigen, weg vom Zahlenstrahl.

Geben wir der Vierteldrehung einen Namen: i. Zweimal hintereinander ist eine halbe Drehung, also ×(−1). Damit ist $i \cdot i = -1$ . Da ist sie, unsere Zahl, die zum Quadrat etwas Negatives ergibt!

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i^2 = -1 \qquad\text{(zwei Vierteldrehungen = eine halbe Drehung)}

Theo: Moment mal. Das sind die „imaginären Zahlen“. Jeder weiß, dass die ausgedacht sind. Die können keine echte, physikalische Feder beschreiben.

June: Die sind nicht imaginär, die sind seitlich! Das ist einfach ein 2-D-Pfeil. Links abbiegen ist genauso echt wie geradeaus gehen.

Eine Zahl wie $3 + 2i$ heißt einfach „3 Schritte entlang, 2 Schritte seitwärts“. Die ganze Ebene voller Pfeile ist die Bühne für alles, was jetzt kommt.

Drehungen messen

June: Wenn i eine Vierteldrehung ist, werden wir den ganzen Tag Pfeile drehen. Wie sagen wir also, wie weit sich ein Pfeil gedreht hat?

Grad sind eine alte Gewohnheit: 360 Stück pro Umdrehung, weil ein uralter Kalender die 360 mochte. Mathematiker messen eine Umdrehung mit dem Kreis selbst. Roll ein Rad mit Radius 1 und schau, wie weit sein Rand kommt. Ein Radiant ist der Winkel, dessen Bogen genau einen Radius lang ist.

Erst tippen! Wie viele Radiant ergeben eine volle Umdrehung?

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Folge der Pfeilspitze, während sich der Pfeil dreht. Ihr Schatten auf der reellen Achse heißt Kosinus des Winkels, $\cos\theta$ ; ihr Schatten auf der seitlichen Achse ist der Sinus, $\sin\theta$ . Dreh gleichmäßig, und beide Schatten zeichnen Wellen, der Sinus eine Vierteldrehung hinter dem Kosinus.

Mika: Verstanden. Ein Dreher mit 2 Radiant pro Sekunde läuft also zweimal pro Sekunde herum!

Theo: Zweimal pro Sekunde wären 2 Umdrehungen, also $4\pi$ Radiant. Bei 2 Radiant pro Sekunde dauert eine volle Umdrehung $2\pi/2 \approx 3{,}14$ Sekunden.

Neue Wörter

Radiant: Der Winkel, dessen Bogen einen Radius lang ist. Eine volle Umdrehung sind $2\pi$ Radiant, eine halbe Drehung $\pi$ .
Kosinus und Sinus: Die Schatten eines Pfeils der Länge 1 beim Winkel θ: $\cos\theta$ entlang der reellen Achse, $\sin\theta$ seitlich.

Eine Zahl, die sich dreht

Drehtempo misst man in Radiant pro Sekunde: Ein Dreher mit 2 Radiant pro Sekunde schafft eine volle Umdrehung in $2\pi/2 \approx 3{,}14$ Sekunden. Das Zeichen ω steht für dieses Drehtempo.

Stell dir jetzt einen Punkt vor, der mit festem Tempo im Kreis läuft, ω Radiant pro Sekunde. Wohin zeigt seine Geschwindigkeit? (Geschwindigkeit ist das Tempo aus Kapitel 3 plus eine Richtung. Die Geschwindigkeit eines bewegten Pfeils ist also auch ein Pfeil: wohin sich seine Spitze bewegt und wie schnell.) Immer am Kreis entlang, also eine Vierteldrehung vor dem Pfeil zum Punkt.

Eine Vierteldrehung ist ×i, und das Tempo ist ω mal der Radius. Die Geschwindigkeit ist also die um eine Vierteldrehung gedrehte Position, mal ω: Geschwindigkeit = iω × Position.

Theo: Moment. „Die Steigung ist eine feste Zahl mal sie selbst“ ist genau die exponentielle Eigenschaft aus Kapitel 4! Mit a = iω.

Mika: Aber Moment mal. In Kapitel 4 hieß eine Potenz „wie oft schon multipliziert wurde“. Was soll $e$ hoch $i\theta$ dann überhaupt heißen? Mit $e$ multiplizieren, und das $i\theta$ -mal?

June: Bau es wie in Kapitel 4. $e$ waren $n$ winzige Schritte, in denen es jeweils um $\frac1n$ wächst. Mach jeden winzigen Schritt stattdessen zu einem kleinen Stups seitwärts.

e^{i\theta} = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{i\theta}{n}\right)^{n}

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Jeder Schritt dreht den Pfeil um einen winzigen Winkel, etwa $\theta/n$ Radiant, und streckt ihn ein winziges bisschen. Mit mehr Schritten verschwindet das Strecken, und der Weg landet auf dem Kreis, genau θ Radiant weit herum. Darum Radiant: Die winzigen Stupse seitwärts summieren sich am Rand entlang. $e^{i\theta}$ ist also einfach der Punkt auf dem Kreis beim Winkel θ.

$e^{i\omega t}$ ist also überhaupt nicht gruselig. Es ist ein Punkt, der sich auf dem Kreis mit Radius 1 dreht, ω Radiant pro Sekunde. Schau ihm zu, und schau auf seinen Schatten auf der reellen Achse:

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\begin{aligned}\frac{d}{dt}\,e^{i\omega t} &= i\omega\,e^{i\omega t} \\ \text{reeller Schatten} &= \cos(\omega t)\end{aligned}

Der Schatten gleitet als perfekte Kosinuswelle hin und her. Ein drehender Pfeil, von der Seite gesehen, ist ein Wackeln. Da hat sich das Wackeln also versteckt.

Was wir bis jetzt wissen

Was wir herausgefunden haben

Zahlen sind Pfeile. Multiplizieren dreht und streckt sie. i ist eine Vierteldrehung, also $i^2 = -1$ .
Ein Radiant ist der Winkel, dessen Bogen einen Radius lang ist: Eine volle Umdrehung sind $2\pi$ . cos θ und sin θ sind die Schatten eines gedrehten Pfeils.
$e^{i\theta}$ , gebaut aus winzigen Schritten seitwärts $\left(1 + \frac{i\theta}{n}\right)^n$ , ist der Punkt auf dem Kreis beim Winkel θ.
$e^{i\omega t}$ ist ein Punkt, der sich im Kreis dreht. Sein Schatten ist eine Kosinuswelle.
Die Geschwindigkeit eines Drehers ist immer eine Vierteldrehung vor seiner Position: Geschwindigkeit $= i\omega \times$ Position. Das ist die exponentielle Eigenschaft mit $a = i\omega$ .

Mika: „Die rätselhafte Zahl der Feder gibt es also doch: Sie ist 2i. Heißt das, eine echte Feder schwingt seitwärts?“

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