Kapitel 3

Die Sprache der Veränderung

Wie beschreiben wir, wie schnell sich etwas gerade ändert?

Kapitel 3: Die Sprache der Veränderung ↗

Steigung ist Tempo

Theo: Wir sagen ständig „träge“, „wackelig“, „kommt zur Ruhe“. June hat recht: Das sind Gefühle, keine Mathematik. Ich will genau sagen können, wie schnell sich die Drohne verändert.

June: Spielen wir unsere Drohne aus Kapitel 2 nochmal ab (Kp = 20 N/m) und schauen genau hin.

Die blaue Kurve ist die Höhe der Drohne über die Zeit. Tempo heißt: wie stark sich die Höhe pro Sekunde ändert. Im Diagramm ist das, wie steil die Kurve in einem Moment ist. Leg ein Lineal so an die Kurve, dass es sie an genau einem Punkt berührt. Dieses Lineal ist die Tangente, und ihre Steigung ist das Tempo.

Mika: Einfach: Ganz oben auf dem Buckel ist die Drohne am schnellsten, weil sie da am höchsten ist!

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Theo: Stell den Cursor oben auf den Buckel. Die Tangente ist flach. Das Tempo ist dort null!

Mika: Oh. Die Drohne steigt, verliert ihren Schwung nach oben, bleibt oben einen Augenblick stehen und fällt zurück. Hoch und schnell sind zwei völlig verschiedene Dinge.

Am schnellsten ist sie tatsächlich mitten im Anstieg, wo die Kurve am steilsten ist. Und wenn die Kurve nach unten geht, ist die Steigung negativ: Die Drohne fällt.

Diese „Steigung in einem Augenblick“ bekommt einen Namen: die Ableitung. Wir schreiben sie als winzige Höhenänderung geteilt durch die winzige Zeit, die sie gedauert hat. In Symbolen liest man $\Delta h / \Delta t$ als „Höhenänderung durch Zeitänderung“: Der griechische Buchstabe Δ (Delta) steht kurz für Änderung von.

\begin{gathered}\text{Tempo} = \frac{d\out{h}}{dt} \\[1em] \approx \frac{\text{Höhenänderung}}{\text{Zeitänderung}} \\[1em] (\text{über eine sehr kurze Zeit})\end{gathered}

Eine Regel fürs Tempo

June: Mein Kaffee kühlt erst schnell ab und dann ganz langsam. Er kommt nie ganz auf Zimmertemperatur.

Theo: Weil das Abkühltempo davon abhängt, wie weit er noch hat. Eine sehr heiße Tasse verliert schnell Wärme. Eine kaum warme Tasse fast gar keine.

Schreiben wir das als Regel für die Steigung auf. Die Kaffeetemperatur ist T, der Raum hat 20 °C:

\frac{d\out{T}}{dt} = -\frac{\out{T} - \sp{T_{\text{Raum}}}}{\tau}

Das Minuszeichen sagt: „Kühl ab, wenn du wärmer als der Raum bist.“ Die Zahl τ (tau, die Zeitkonstante) sagt, wie träge die Tasse ist. Stell es dir so vor: τ ist die Zeit, die der Kaffee bis zur Zimmertemperatur bräuchte, wenn er mit seinem Anfangstempo weiter abkühlen würde. Bei einer normalen Tasse ist τ ≈ 10 Minuten.

Jetzt das Rätsel: Die Regel sagt uns nur die Steigung genau jetzt. Kriegen wir daraus die ganze Kurve? Bauen wir sie von Hand: Steigung anschauen, ein Stückchen (Δt) daran entlanggehen, neue Steigung anschauen, wieder gehen…

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June: Zwölf kleine Schritte sind langweilig. Ich nehm 15-Minuten-Schritte, dann bin ich im Nu fertig.

June: …Moment. Der Kaffee hat −15 °C?! Er ist in einem warmen Raum gefroren?

Theo: Die Regel ist in Ordnung. Die Schritte sind das Problem. Bei einem Riesenschritt nimmst du die steile Steigung vom Anfang des Schritts, lange nachdem sie nicht mehr stimmt. Du fliegst glatt an der Zimmertemperatur vorbei.

Wir können genau sehen, wie sehr. Jeder Schritt multipliziert den Abstand zur Zimmertemperatur mit derselben Zahl:

\text{Abstand}_{\text{neu}} = \left(1 - \frac{\Delta t}{\tau}\right) \cdot \text{Abstand}

Δt kleiner als τ: Der Faktor liegt zwischen 0 und 1. Der Abstand schrumpft, kein Überschwingen.
Δt genau τ: Der Faktor ist 0. Ein Schritt landet genau auf Zimmertemperatur: Das ist das Anfangstempo, ein ganzes τ lang beibehalten.
Δt zwischen τ und 2τ: Der Faktor ist negativ. Der Kaffee schießt unter die Zimmertemperatur, dann darüber, und schwingt hin und her, während die Schwünge kleiner werden.
Δt größer als 2τ: Der Faktor ist kleiner als −1. Die Schwünge wachsen mit jedem Schritt. Unsinnskaffee.

Mika: Das ist die Dusche! Wer zu mutig auf alte Informationen reagiert, fängt an zu schwingen.

Mach Δt klein und schalte die glatte Kurve ein. Die handgebauten Punkte landen genau darauf. Diese glatte Form heißt exponentieller Abfall. Sie bekommt im nächsten Kapitel ihr eigenes Kapitel.

Der echte Kaffee behält sein Anfangstempo nie: Die Steigung schrumpft, während der Abstand schrumpft. Deshalb hat er nach einem τ nur etwa 63 % des Abstands geschafft, nicht alles. Auf dem Lineal unten ist die gestrichelte Linie das beibehaltene Anfangstempo; die Kurve zeigt, was wirklich passiert. Woher kommen die 63 %? Kapitel 4 baut es auf.

Die Zeitkonstante ist ein Lineal

Erst tippen! Nach einer Zeitkonstante hat der Kaffee 63 % des Abstands zur Zimmertemperatur geschafft. Wie viel ist nach zwei Zeitkonstanten geschafft?

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Nach 1τ: 63 %. Nach 2τ: 86 %. Nach 3τ: 95 %. Ganz genau kommt er nie an, aber nach etwa 4–5 τ merkt das niemand mehr. Schalte auf den Tank um: Er füllt sich über ein Rohr aus einem großen Becken, in dem das Wasser 1,2 m hoch steht. Der Höhenunterschied drückt das Wasser hinein, also wird der Zufluss langsamer, je näher der Tank dem Becken kommt. Die Regel ist dieselbe („das Tempo ist proportional dazu, wie weit es bis voll ist“), und die Form auch.

June: τ ist also ein eingebautes Lineal. Sag mir τ, und ich weiß, wie träge etwas ist, egal ob Tasse, Tank oder Drohne.

Neue Wörter

Ableitung: Die Steigung einer Kurve in einem Augenblick: wie schnell sich etwas ändert. Geschrieben $\frac{dh}{dt}$ oder $\dot h$ .
System 1. Ordnung: Etwas, dessen Änderungstempo proportional dazu ist, wie weit es noch von seinem Ziel entfernt ist (Kaffee, Tanks). Seine Kurve ist eine Exponentialfunktion.
Zeitkonstante τ: Wie lange ein System 1. Ordnung bis zum Ziel bräuchte, wenn es sein Anfangstempo beibehielte. In Wirklichkeit schafft es in dieser Zeit 63 % der verbleibenden Strecke.

Rückwärts: Flächen aufsummieren

Theo: Die Steigung macht aus Höhe Tempo. Geht das auch rückwärts? Angenommen, der Sensor der Drohne sagt uns nur ihr Tempo. Wo ist sie?

Wenn du 3 s lang konstant mit 2 m/s fliegst, steigst du 6 m: Tempo × Zeit. In einem Tempo-Zeit-Diagramm ist das die Fläche eines Rechtecks. Wenn sich das Tempo ständig ändert, schneide die Zeit in dünne Streifen, behandle jeden Streifen als Rechteck und zähl alle zusammen.

Fahr mit dem Cursor entlang und schau zu, wie die schattierte Fläche wächst. Die blaue Kurve unten ist einfach die Fläche bis hierhin. Wo das Tempo unter null fällt (die Drohne fällt), zählt die Fläche negativ, und die Höhe sinkt.

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Mika: Die aufsummierte Fläche landet genau auf der echten Höhe. Die Steigung bringt dich hin, die Fläche bringt dich zurück.

Dieses „Fläche aufsummieren“ heißt Integral. Sein Zeichen ∫ ist ein gestrecktes S, für Summe: eine Summe dünner Streifen. Das kleine $dt$ ist die Breite jedes Streifens, und $0$ und $t$ sagen, wo das Aufsummieren beginnt und aufhört:

\out{h}(t) = \out{h}(0) + \int_0^{t} \text{Tempo}\;dt

Die Steigung einer Steigung

Mika: Kapitel 1 hat uns etwas versprochen. In der Gleichung der Drohne standen zwei Punkte über $h$ . Ein Punkt ist das Tempo. Und der zweite?

Das Tempo ist selbst eine Kurve, also hat es auch eine Steigung: wie schnell sich das Tempo ändert. Das ist die Beschleunigung, die Steigung einer Steigung. Unten derselbe Flug dreimal: die Höhe, ihre Steigung (Tempo) und deren Steigung (Beschleunigung), alle mit einem gemeinsamen Zeitcursor.

Erst tippen! Ganz oben auf dem Buckel ist das Tempo null. Wie groß ist dort die Beschleunigung?

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Mika: Ich hab null gesagt! Aber oben fällt die Tempokurve bergab am steilsten. Null Tempo heißt nicht null Kraft.

Zwei Punkte bedeuten die Steigung der Steigung. Es gibt noch eine dritte Schreibweise für Steigungen, mit kleinen Strichen: $h'$ (gesprochen „h Strich“) für die Steigung, $h''$ für die Steigung der Steigung. Drei Schreibweisen, eine Idee:

Neue Wörter

$\dot h = h' = \frac{dh}{dt}$: Die Steigung von $h$ : ihr Tempo.
$\ddot h = h'' = \frac{d^2 h}{dt^2}$: Die Steigung der Steigung: die Beschleunigung.
$\Delta$: „Änderung von“: $\Delta t$ ist ein Zeitschritt.
$\int$: Ein gestrecktes S, für „Summe“: Fläche aufsummieren.

Jetzt liest sich die Gleichung aus Kapitel 1 wie ein Satz. Masse mal Beschleunigung ist gleich allem, was drückt: Schub nach oben, Gewicht nach unten und Luftwiderstand gegen das Tempo. Das ist Newtons Gesetz, Term für Term:

\underbrace{0{,}5\,\ddot{\out{h}}}_{\text{Masse}\times\text{Beschleunigung}} = \underbrace{\eff{T}}_{\text{Schub}} - \underbrace{4{,}9}_{\text{Gewicht}} - \underbrace{1{,}0\,\dot{\out{h}}}_{\text{Widerstand}\,\times\,\text{Tempo}}

Theo: Die Kaffeeregel ging also um sein Tempo, und die Drohnenregel geht um ihre Beschleunigung: eine Steigung tiefer. Kann die Drohne deshalb überschwingen und pendeln, und der Kaffee nie?

June: Muss so sein. Das Tempo des Kaffees folgt einfach dem Abstand. Das Tempo der Drohne muss erst aufgebaut und wieder abgebaut werden, also kann sie noch in Bewegung sein, wenn sie ankommt.

Was wir bis jetzt wissen

Was wir herausgefunden haben

Die Ableitung ist die Steigung einer Kurve in einem Augenblick: wie schnell sie sich ändert. Hoch und schnell sind verschiedene Dinge.
Eine Regel wie „kühl umso schneller ab, je heißer du bist“ legt die ganze Kurve fest: eine exponentielle Annäherung.
Die Zeitkonstante τ ist ein Lineal: 63 % des Wegs nach τ, 86 % nach 2τ, 95 % nach 3τ.
Wer Kurven mit zu großen Schritten baut, erzeugt falsches Überschwingen und Schwünge, genau wie bei der Dusche.
Die Steigung der Steigung ist die Beschleunigung: $\ddot h$ oder $h''$ . Die Drohnengleichung aus Kapitel 1 ist eine Regel für sie.
Das Integral summiert Fläche auf und macht die Ableitung rückgängig.

Theo: „Die Kaffeekurve hatte eine komische Eigenschaft: Ihre Steigung war immer proportional zum Abstand, der noch übrig war. Gibt es eine Kurve, deren Steigung proportional zu sich selbst ist?“

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