Kapitel 9

Aus Analysis wird Algebra

Können wir Analysis in Algebra verwandeln?

Aus Steigungen wird Multiplikation

Mika: Erinnerst du dich an den Klebezettel aus Kapitel 4? Bei $e^{at}$ war eine Steigung nehmen einfach $\times\, a$ . Jetzt schau, was die Sonde mit einer Steigung macht.

Neue Wörter

$f'$ und $f''$: Kurz für $\frac{df}{dt}$ , die Steigung von $f$ , und die Steigung dieser Steigung. Kapitel 7 hat sie mit Punkten geschrieben, $\dot x$ und $\ddot x$ .
$\mathcal{L}\{f\}$: „Die Transformation von $f$ “: dasselbe wie $F(s)$ , praktisch, wenn $f$ ein ganzer Ausdruck ist.
Großbuchstaben: Ein Großbuchstabe ist die Transformation seines Kleinbuchstabens: $F$ zu $f$ , $H$ zur Höhe $h$ , $X$ zu $x$ .

Jetzt die Eigenschaft, für die sich das Ganze lohnt. Was passiert mit der Transformation, wenn wir die Steigung des Signals nehmen? Probier’s mit $f = e^{at}$ . Seine Steigung ist $a e^{at}$ (Kapitel 4), also

\begin{aligned} \mathcal{L}\{f'\} &= \frac{a}{s-a} = \frac{s}{s-a} - 1 \\ &= s\,F(s) - f(0) \end{aligned}

Aus der Steigung wurde Multiplizieren mit $s$ , minus der Anfangswert $f(0)$ . Aus Analysis wurde Algebra!

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Theo: Moment. Das ist ein Trick, der bei $e^{at}$ klappt, weil $e^{at}$ besonders ist. Gleich erzählt ihr mir, das ist eine Regel zum Auswendiglernen. Dass das für jede Kurve gilt, kauf ich euch nicht ab.

June: Dann testen wir’s an der hässlichsten Kurve, die du zeichnen kannst.

Zeichne im ersten Diagramm ein beliebiges Signal (oder wähl eine Vorlage). Wir berechnen seine Steigung und dann mit der Flächenmaschine beide Seiten der Regel: die Transformation der Steigung und $s\,F(s) - f(0)$ . Das zweite Diagramm zeigt diese zwei Seiten für jedes $s$ .

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Theo: Sie passen, sogar bei meinem wackligen Gekritzel. Also doch keine Nachschlageregel: Das macht die Flächenmaschine mit jeder Steigung.

Hier ist die fehlende Rechnung, als Bild. Ein Produkt ändert sich aus zwei Gründen. $f$ ändert sich, während die Sonde stillhält, und die Sonde ändert sich, während $f$ stillhält. Stell dir ein Rechteck mit den Seiten $f$ und $e^{-st}$ vor: Es wächst entlang der einen Seite, dann entlang der anderen. Dieser Schritt hat einen Namen: partielle Integration.

\big(f\,e^{-st}\big)' = f'\,e^{-st} - s\,f\,e^{-st}

Summier diese Änderungen von 0 bis ∞ auf (Kapitel 3: Fläche macht Steigung rückgängig), und du bekommst den Wert am Ende minus den Wert am Anfang. Genau das bedeutet die Klammer $\big[\,\cdot\,\big]_0^\infty$ :

\big[f\,e^{-st}\big]_0^\infty = \int_0^\infty f'\,e^{-st}\,dt - s\,F(s)

Am fernen Ende hat die Sonde alles auf null gedrückt (solange $s$ das Wachstum des Signals schlägt), also ist die linke Seite einfach $0 - f(0)$ . Bring $s\,F(s)$ auf die andere Seite, und da ist die Regel.

Theo: $f(0)$ ist also kein Trick. Es ist das Rechteck, mit dem wir angefangen haben.

Wende dieselbe Regel noch einmal an, diesmal auf $f'$ , dessen Anfangswert $f'(0)$ ist, die Anfangsgeschwindigkeit:

\begin{aligned} \mathcal{L}\{f''\} &= s\,\mathcal{L}\{f'\} - f'(0) \\ &= s\big(s\,F(s) - f(0)\big) - f'(0) \\ &= s^2 F(s) - s\,f(0) - f'(0) \end{aligned}

Unsere eigene Tabelle

Lehrbücher drucken eine „Tabelle der Laplace-Transformationen“ ab, als wäre sie vom Himmel gefallen. Wir verdienen uns unsere, Zeile für Zeile. Jede Zeile ist einfach die Sonden-und-Flächen-Maschine, angewendet auf ein Signal, plus eine Prüfung, dass die Formel zur tatsächlichen Fläche passt.

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Mika: Die Sinuszeile ist meine liebste. Ein Sinus ist einfach zwei Zwillingsdreher, und die Transformation jedes Drehers ist die Exponentialzeile mit $a = \pm i\omega$ . Kapitel 6 hat die Zwillinge addiert, um einen Kosinus zu bekommen. Subtrahier sie stattdessen, und die waagerechten Teile heben sich auf, übrig bleibt $2i\sin\omega t$ . Daher kommt das $2i$ ! Und die Nenner der Zwillinge zu multiplizieren ist das Spiegelprodukt aus Kapitel 7, $(s - i\omega)(s + i\omega) = s^2 + \omega^2$ .

(Für ein komplexes $a$ funktioniert die Exponentialzeile auch, solange der waagerechte Teil von $s$ den waagerechten Teil von $a$ schlägt. Für die Zwillinge heißt das einfach $\sigma > 0$ .)

Und die letzte Zeile brauchte überhaupt keine neue Arbeit: Multiplizieren mit $e^{-\sigma t}$ verschiebt einfach $s$ zu $s+\sigma$ . Vier Zeilen, alle hergeleitet, alle geprüft.

Noch eine Regel, die wir still und leise benutzt haben. Die Flächenmaschine ist fair: Mach ein Signal 3-mal so hoch, und jede Scheibe seiner Fläche ist 3-mal so hoch, also auch die ganze Fläche. Addier zwei Signale, und ihre Flächen addieren sich. Mathematiker nennen das Linearität.

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June: Deshalb dürfen wir eine Gleichung Term für Term transformieren, samt Zahlen davor. Und die Gleichung der Drohne ist genau so eine Summe. Setzen wir die Tabelle ein!

Einen Hauptnenner rückgängig machen

Theo: Jede Antwort, die wir bekommen, kommt als ein großer Bruch heraus. Aber unsere Tabelle kennt nur kleine: $\frac1s$ , $\frac{1}{s-a}$ , die Sinusse. Wie zerlegen wir einen großen Bruch in Tabellenstücke?

In der Schule hast du Brüche addiert, indem du einen Hauptnenner gesucht hast. Hier gehen wir rückwärts: Wir starten mit einem Bruch und suchen die kleinen Stücke, die zusammen genau ihn ergeben. Das heißt Partialbruchzerlegung:

\frac{1}{s} + \frac{1}{s+2} = \frac{2s + 2}{s\,(s+2)} \qquad\text{so}\qquad \frac{2s+2}{s\,(s+2)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+2}

Was kommt in den Zähler jedes Stücks? **Eine Unbekannte für jede Potenz von $s$ in seinem Nenner.** Ein Nenner wie $s$ oder $s + 2$ bekommt eine schlichte Zahl. Ein quadratischer Nenner wie $s^2 + 2s + 5$ bekommt $B\,s + C$ : zwei Unbekannte, weil ein quadratisches Polynom Platz für zwei hat.

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June: Jeder Schieberegler bewegt ein Stück, und in der Zeit addieren sich die Stücke einfach auch. Das Stück $A$ ist ein Sprung, das quadratische Stück ist ein Wackeln, das ausstirbt. Und der große Bruch rechts ist das, was sie zusammen ergeben.

Für die Stücke mit erster Potenz gibt es beim Finden der Zahlen eine Abkürzung, den Zuhalte-Trick. Multiplizier mit dem Nenner des Stücks und setz dann für $s$ den Wert ein, der ihn null macht: Jedes andere Stück verschwindet, und nur sein Zähler bleibt übrig.

A = \Big[s \cdot \frac{2s+2}{s\,(s+2)}\Big]_{s=0} = \frac{2}{2} = 1, \qquad B = \Big[(s+2) \cdot \frac{2s+2}{s\,(s+2)}\Big]_{s=-2} = \frac{-2}{-2} = 1

Ein quadratischer Nenner braucht noch einen Handgriff, bevor die Tabelle ihn lesen kann: Bring ihn mit der quadratischen Ergänzung in die Form $(s + \sigma)^2 + \omega^2$ , also die mittlere Zahl halbieren und quadrieren. So wird $s^2 + 2s + 5 = (s + 1)^2 + 4$ : ein abklingender Kosinus und Sinus mit $\sigma = 1$ und $\omega = 2$ .

Die Drohne mit Algebra lösen

Hier ist die Drohne aus Kapitel 2 mit P-Regelung, diesmal ohne geschenkten Schwebeschub, anfangs auf einem 1 m hohen Sims. Bei $t=0$ lassen wir sie los und verlangen 2 m. In der Rechnung ab diesem Zeitpunkt werden der neue Sollwert und die konstante Schwerkraft jeweils wie ein Sprung transformiert:

m\,\out{h}'' + c\,\out{h}' = \eff{K_p}\,(\sp{2} - \out{h}) - \dis{m g}

Schritt 1: Transformier jeden Term. Weil Flächen skalieren und sich addieren (der Tabellenabschnitt), dürfen wir jeden Term für sich transformieren. Ein Sprung der Größe $r$ wird zu $r/s$ , und Steigungen werden zu Multiplikation mit $s$ . Das haben wir geschrieben:

m\,s^2\out{H} + c\,s\,\out{H} = \eff{K_p}\Big(\frac{\sp{2}}{s} - \out{H}\Big) - \frac{\dis{m g}}{s}

Schritt 2: Jetzt ist es Algebra. Sammle $\out{H}$ auf einer Seite und teile dann:

\begin{gathered} \begin{aligned} &(m s^2 + c s + \eff{K_p})\,\out{H} \\ &\quad = \frac{\eff{K_p}\,\sp{2} - \dis{m g}}{s} \end{aligned} \\[8pt] \out{H}(s) = \frac{N(s)}{s\,\big(m s^2 + c s + \eff{K_p}\big)} \\[8pt] N(s) = \eff{K_p}\,\sp{2} - \dis{m g} \end{gathered}

Mika: Schau dir das an. Keine Steigungen mehr, nur Buchstaben, die herumgeschoben werden. Theo, dein Notizheft raucht nicht mehr.

Schritt 3: Zerleg es in Tabellenstücke, wie im Abschnitt oben: eine Zahl in den Zähler des $s$ -Stücks und $B s + C$ in den Zähler des quadratischen:

\out{H}(s) = \frac{A}{s} + \frac{B s + C}{m s^2 + c s + \eff{K_p}}

Wie finden wir $A$ , $B$ und $C$ ? Multiplizier beide Seiten mit dem gemeinsamen Nenner $s\,(m s^2 + c s + \eff{K_p})$ :

\begin{aligned} N(s) &= A\,(ms^2+cs+\eff{K_p}) \\ &\quad + s\,(Bs+C) \end{aligned}

Der Zuhalte-Trick

Für $A$ gibt es eine Abkürzung. Multiplizier $\out{H}$ mit $s$ , und jedes Stück außer $A/s$ hat oben noch ein $s$ . Setz $s = 0$ , und sie verschwinden alle. Nur $A$ überlebt:

A = \Big[s\,\out{H}(s)\Big]_{s=0} = \frac{N(0)}{\eff{K_p}} = \sp{2} - \frac{\dis{mg}}{\eff{K_p}}

Und $s\,\out{H}$ nahe $s = 0$ ist genau da, wo die Drohne auf lange Sicht landet, falls sie überhaupt zur Ruhe kommt. Die Endhöhe fällt direkt aus der Algebra heraus, ganz ohne Simulation.

Mika: Moment mal. Wir können ablesen, wo sie sich einpendelt, ohne irgendwas zu lösen? Das fühlt sich an wie Schummeln.

Theo: Es ist Schummeln, außer alles andere klingt ab. Hier sind die anderen Stücke das eigene Wackeln der Drohne, und das stirbt aus, also bleibt $A$ übrig. Hätte der Nenner eine Nullstelle in der rechten Hälfte, stünde $A/s$ zwar immer noch im Bruch, aber ein wachsendes Stück würde es überrollen, und die Drohne käme nirgends zur Ruhe. Wie man das prüft, zeigt Kapitel 10.

Dann vergleich beide Seiten, eine Potenz von $s$ nach der anderen. Die reinen Zahlen liefern $A$ , die $s^2$ -Terme liefern $B$ und die $s$ -Terme liefern $C$ :

\begin{gathered} A = \sp{2} - \frac{\dis{mg}}{\eff{K_p}} \\ B = -m\,A, \qquad C = -c\,A \end{gathered}

Hier kommt keine neue Physik ins Spiel: Wir haben nur einen Hauptnenner rückgängig gemacht, um Stücke zu bekommen, die unsere Tabelle in die Zeit zurückholen kann. Beachte, dass es $A$ egal ist, wo die Drohne gestartet ist.

Theo: Und wir mussten kein einziges Mal $e^{st}$ raten. Das Raten hat die Tabelle für uns erledigt.

Schritt 4: Schlag jedes Stück in der Tabelle nach, die wir gerade hergeleitet haben: $A/s$ ist ein Sprung, und das zweite Stück ist ein abklingender Kosinus plus ein abklingender Sinus (der Abstecher unten zeigt, wie es zu diesen Zeilen passt). Lies $h(t)$ ab.

Quadratische Ergänzung: Kapitel 7 hat sich im Nenner versteckt

Das zweite Stück steht noch nicht in unserer Tabelle: Sein Nenner ist ein schlichtes quadratisches Polynom. Bring es in die Form $(s+\sigma)^2 + \omega^2$ (quadratische Ergänzung, wie im Abschnitt oben), und es passt genau zu den Zeilen mit dem abklingenden Sinus. Der Zähler teilt sich genauso auf, ein Teil für die Kosinuszeile und einer für die Sinuszeile:

\begin{gathered} 0{,}5\,s^2 + s + \eff{K_p} = 0{,}5\,\big((s+1)^2 + \omega_d^2\big) \\ \omega_d^2 = 2\eff{K_p} - 1 \\[6pt] B\,s + C = B\,(s+1) + (C - B) \end{gathered}

Also ist $\sigma = 1$ , das ist $\zeta\omega_n$ aus Kapitel 7 für unsere Drohne, und $\omega$ ist das gedämpfte Wackeln $\omega_d$ .

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Theo: Moment. Der Nenner ist genau bei den zwei Punkten null, die wir in Kapitel 7 auf die Karte gesetzt haben! Merk dir diesen Gedanken.

June: Vergleichen wir’s mit der Simulation!

Erst tippen! Wir starten die Drohne auf einem 1 m hohen Sims und lassen unsere Formel neben der Simulation laufen. Was werden wir sehen?

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Mika: Oje. Die Formel startet bei null, aber die Drohne startet auf dem Sims bei 1 m. Die Algebra lügt?

Theo: Die Algebra ist in Ordnung. Wir haben gelogen. Schau dir Schritt 1 an: Wir haben $\mathcal{L}\{h''\} = s^2 H$ und $\mathcal{L}\{h'\} = s\,H$ geschrieben und jedes $h(0)$ weggelassen. Genau das Stück, das sich an den Sims erinnert.

Leg den Schalter um, um die Anfangshöhen-Terme zurückzuholen, und schau, wie sich Schritt 1 und 2 und die Koeffizienten oben mitändern. Die gestrichelte Formel und die blaue Simulation liegen jetzt genau übereinander: Die größte Lücke ist kleiner als ein Millionstel Meter, reine Rundung. Ändere $\eff{K_p}$ oder die Höhe des Simses, und sie stimmen immer noch überein.

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Theo: In Kapitel 2 mussten wir die Drohne fliegen lassen, um ihr Durchhängen zu finden. Hier ist es einfach aus einem Bruch gefallen.

Was wir jetzt wissen

Was wir herausgefunden haben

Aus Steigungen wird Multiplikation: $\mathcal{L}\{f'\} = sF(s) - f(0)$ . Das $f(0)$ merkt sich, wo das Signal angefangen hat. Vergiss es, und deine Antwort startet an der falschen Stelle.
Wir haben unsere eigene Tabelle hergeleitet: $1/s$ , $1/(s-a)$ , $\omega/(s^2+\omega^2)$ und die verschobene Version für abklingende Sinusse. Flächen skalieren und addieren sich, also dürfen wir eine Gleichung Term für Term transformieren.
Große Brüche zerfallen per Partialbruchzerlegung: eine Unbekannte pro Potenz von $s$ in jedem Nenner, gefunden mit dem Zuhalte-Trick. Aus einem quadratischen Nenner wird ein schrumpfender Kosinus und Sinus.
Transformieren, Algebra machen, in Tabellenstücke zerlegen, Antwort ablesen. Das Stück $A/s$ zeigt, wo sich die Drohne einpendelt, samt Durchhängen. Das passt exakt zur Simulation, solange du die Anfangswerte mitnimmst.

June: „Jedes Mal, wenn wir etwas gelöst haben, war die Antwort (irgendwas) ÷ (ein Polynom in s), und das Verhalten der Drohne kam von den Stellen, wo der Nenner null ist. Was, wenn dieser Bruch die Drohne ist?“

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