Kapitel 2

Proportionalregelung

Wie stark soll die Drohne drücken, wenn sie zu tief ist?

Je weiter weg, desto stärker drücken

June: Letztes Mal hat sich die Drohne mit Paket 25 cm zu tief eingependelt. Ich will wissen, warum.

Theo: Unsere Regel hatte zwei Teile: 4,9 N, um die Drohne zu halten, plus 8 N pro Meter Fehler. Die 4,9 N waren eine Schätzung des Gewichts. Als das Paket das Gewicht geändert hat, war die Schätzung falsch.

Mika: Dann lassen wir die Schätzung weg! Keine 4,9 mehr. Soll der Fehler die ganze Arbeit machen: Drück proportional dazu, wie weit du danebenliegst.

Das ist der berühmteste Regler überhaupt, die Proportionalregelung (kurz „P-Regler“):

\eff{T} = K_p \, \err{e} = K_p\,(\sp{r} - \out{h})

$K_p$ ist die Verstärkung: wie viele Newton Schub du pro Meter Fehler dazugibst. Die Einheit ist Newton pro Meter (N/m). Großes $K_p$ heißt eifriger Regler, kleines $K_p$ entspannter Regler. Das ist der einzige Knopf, den wir in diesem Kapitel haben.

Erst tippen! Nimm $K_p = 5$ N/m. Die Drohne startet am Boden und will auf 2 m. Wo landet sie am Ende im Schwebeflug?

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Schau dir die gepunktete blaue Linie an: Dort pendelt sich die Drohne ein, und das ist immer unter dem Ziel. Die Lücke heißt bleibende Regelabweichung, oder einfach Durchhängen.

Theo: Das ist Tauziehen. Die Schwerkraft zieht immer mit 4,9 N nach unten. Der Regler kann nur dann mit 4,9 N dagegenhalten, wenn noch etwas Fehler übrig ist, den er multiplizieren kann.

\begin{aligned}\eff{T} &= \text{Gewicht} \\ \Longrightarrow K_p\,\err{e} &= 4{,}9 \\ \Longrightarrow \err{e}_{\text{Durchhängen}} &= \frac{4{,}9}{K_p}\ \text{m}\end{aligned}

Schieb $K_p$ jetzt runter auf 2 N/m. Die Drohne hebt nicht mal ab! Am Boden ist der Fehler 2 m, also ist der Schub nur $2 \times 2 = 4$ N, weniger als die 4,9 N Gewicht. Laut Formel müsste sie 2,45 m durchhängen, und das wäre unter der Erde.

Einfach aufdrehen!

June: Ganz einfach: Mehr Verstärkung ist immer besser. Größeres $K_p$ , weniger Durchhängen. Aufdrehen!

Mika: Mach ich. Volle Power: $K_p = 60$ !

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Mika: Nur noch 8 cm Durchhängen! Nach ein paar Sekunden ist sie praktisch auf 2 m. Sieg!

Theo: Mika… schau dir die ersten zwei Sekunden an. Sie ist auf etwa 3,4 Meter hochgeschossen, weit übers Ziel hinaus. Und schau dir den Schub an: 120 N beim Start, dann zieht er nach unten, dann wieder hoch. Das ist kein Schweben, das ist Hüpfen.

Mika: Oh. Ich hab nur geschaut, wo sie am Ende landet. Die rote Fehlerfläche am Anfang ist riesig.

Das war Mikas Fehler: einen Regler nur danach zu beurteilen, wo er sich am Ende einpendelt. Wie er dorthin kommt, zählt genauso. Probier ein paar Verstärkungen aus und schau auf den blassen Geist deines vorherigen Laufs:

Kleine Verstärkung (kleines $K_p$ ): sanft, aber sie hängt stark durch. Wenn du weit genug runtergehst, hebt die Drohne nie ab.
Große Verstärkung (großes $K_p$ ): wenig Durchhängen, aber sie schwingt über (schießt über die Höhe hinaus, bei der sie sich einpendelt) und wackelt, bevor sie zur Ruhe kommt.

June: Warum sollte stärkeres Drücken sie zum Wackeln bringen?

Theo: Ein großer Schubs bringt sie schnell in Fahrt. Wenn sie die richtige Höhe erreicht, ist sie immer noch schnell unterwegs. Und nichts in unserer Regel sagt „langsamer, du bist fast da“. Nur der Luftwiderstand bremst sie sanft. Also saust sie vorbei, wird zurückgedrückt, saust wieder vorbei…

Eine Herausforderung

Suchen wir den optimalen Punkt. Die Drohne besteht, wenn sie weniger als 20 cm durchhängt und weniger als 30 % überschwingt (Überschwingen messen wir daran, wie weit sie über die Höhe hinausschießt, bei der sie sich am Ende einpendelt). Finde ein $K_p$ , das beides schafft.

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Mika: Die grünen Zonen überlappen nie! Fürs Durchhängen muss $K_p$ über etwa 24,5 liegen, fürs Überschwingen unter etwa 3,9. Es gibt keine Lösung.

Theo: Weil ein einziger Knopf beides steuert und sie in entgegengesetzte Richtungen zieht. Es ist nicht so, dass wir die richtige Zahl noch nicht gefunden haben. Es gibt keine. Wir brauchen eine bessere Art von Regler.

June: Um einen besseren zu bauen, müssen wir anständig über das Wackeln reden. „Träge“, „hüpfig“, „kommt irgendwann zur Ruhe“… das sind Gefühle, keine Physik.

Was wir bis jetzt wissen

Was wir herausgefunden haben

Proportionalregelung: Schub = $K_p \times$ Fehler. Ein Knopf, die Verstärkung $K_p$ (N/m).
Gegen die Schwerkraft lässt ein P-Regler immer eine bleibende Regelabweichung (Durchhängen) von $4{,}9 / K_p$ m übrig: Etwas Fehler muss bleiben, um den Schub zu erzeugen, der die Drohne hält.
Kleine Verstärkung heißt viel Durchhängen und eine träge Reaktion. Große Verstärkung heißt wenig Durchhängen, aber Überschwingen und Wackeln.
„Mehr Verstärkung ist immer besser“ stimmt nicht. Für unsere Drohne gibt es kein einzelnes $K_p$ , das wenig Durchhängen und wenig Überschwingen zugleich liefert.

Träge. Wackelig. Schwingt über. Kommt zur Ruhe. Wir beschreiben ständig mit schwammigen Wörtern, wie sich Dinge mit der Zeit ändern. Wir brauchen eine echte Sprache für Veränderung.

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