Kapitel 13

Die Drohnen-Challenge

Schaffst du es, die Drohne durch alles hindurch auf 2 m zu halten?

Einsatzbesprechung

June: Okay. Echte Drohne, echte Lieferung. Sie startet mit einem Paket, übersteht eine Böe, wirft das Paket ab und hält die ganze Zeit 2 m. Zwanzig Sekunden.

Mika: Und wir dürfen nichts anfassen, während sie fliegt?

Theo: Genau darum geht’s. Der Regler muss es allein schaffen. Wir wählen nur drei Zahlen. Na gut, vier: den Filter auch.

Der Einsatz, Sekunde für Sekunde:

0 s: Start vom Boden mit einem 0,2-kg-Paket (0,7 kg insgesamt).
6–9 s: Eine Böe drückt mit 1,5 N nach unten.
12 s: Das Paket fällt ab. Plötzlich ist die Drohne 0,2 kg leichter.
20 s: Einsatz beendet.

Unser Drohnenmodell wird fürs Finale ein bisschen ehrlicher. Mit jedem dieser Punkte müssen echte Drohnen leben, und jeder ist ein alter Bekannter aus einem früheren Kapitel:

Motorverzögerung (τ ≈ 0,05 s): Ein Propeller kann sein Tempo nicht sofort ändern. Sein Schub folgt dem Befehl wie der abkühlende Kaffee aus Kapitel 3, eine Verzögerung erster Ordnung: 63 % des Wegs nach 0,05 s. Ein verspäteter Schub ist der Phasenverzug aus Kapitel 12 in Verkleidung.
**Ein verrauschter Sensor ( $\sigma_n$ ≈ 2 cm; n für engl. noise, Rauschen; nicht das σ eines Pols):** Jede Höhenmessung liegt zufällig um etwa 2 cm daneben, tausendmal pro Sekunde. Kapitel 11 hat uns gewarnt: D macht aus diesem Zittern große Schubspitzen.
Begrenzte Motoren (0 bis 20 N): Die Grenze aus Kapitel 10 bleibt. Mit dem Paket wiegt die Drohne 6,9 N, also sind 20 N nur etwa das Dreifache ihres Gewichts, und nach unten ziehen können die Motoren nie. Solange sie am Anschlag sind, pausiert der Haufen (das Anti-Windup aus Kapitel 11).
D ist gefiltert: die Lösung aus Kapitel 11. D nimmt die Steigung eines geglätteten Sensorwerts, eine Verzögerung erster Ordnung mit der Zeitkonstante $\tau_f$ , die du wählst. Längeres $\tau_f$ heißt ruhiger, aber später.

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Eine kurze Verzögerung ist fast eine Totzeit

Theo: Ein Motor, der 0,05 s zum Hochdrehen braucht… ist das nicht einfach eine winzige Totzeit?

\angle \frac{1}{1 + i\omega\tau_m} = -\arctan(\omega\tau_m) \approx -\omega\tau_m \qquad (\omega\tau_m \ll 1)

June: Fast! Nimm eine Einstellung, die alle sechs Sterne holt (kein Spoiler). Ihre Kreisverstärkung ist bei etwa 10 rad/s genau 1, dort, wo Kapitel 12 die Phasenreserve abliest. Dort würde eine Totzeit von 0,05 s 28° kosten. Die Verzögerung kostet 26°.

Mika: Also wieder Kapitel 12, nur kleiner.

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Mit den echten Motoren sind etwa 25° Reserve weg, bevor Rauschen oder Grenzen überhaupt ins Spiel kommen. Deshalb sind die Gewinner im Finale sanfter als die aus Kapitel 11.

Theo: Nur 33°? Laut den Paaren aus Phasenreserve und ζ in Kapitel 12 ist das ein hüpfiges ζ von etwa 0,3. Wie verdient sie sich dann den Stern fürs Überschwingen?

Ihr wackeliges Polpaar ist wirklich so hüpfig (ζ ≈ 0,33: allein würde es um etwa 33 % überschwingen). Aber der größte Teil des Anstiegs reitet auf zwei langsamen, ruhigen Polen bei etwa −1,1 und −2,7, und das wackelige Paar bekommt nur einen kleinen Anteil. Selbst mit unbegrenzten Motoren schwingt der Start nur um etwa 7 % über. Die Paare aus Kapitel 12 gelten für ihren einfachen Kreis. Dieser hier hat mehr Teile, also lies seine Reserve als Sicherheitsabstand, nicht als Versprechen über das Überschwingen.

Kapitel 12 würde das zeichnen. Hier ist der Kreis der Drohne selbst, die Sechs-Sterne-Einstellung einmal ganz herum: Regler, Motoren, Drohne. Verschieb die Motorverzögerung und schau zu, wie sich die Phase nach unten biegt.

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Theo: Ohne die Verzögerung kommt die Phase nie bis −180°, also gibt es gar keine Klippe: Egal wie weit du die Verstärkung aufdrehst, der Kreis könnte die −1 aus Kapitel 10 nie erreichen. Erst die winzige Verzögerung der Motoren baut die Klippe.

Erst tippen! Wenn das Paket bei 12 s abfällt: Welcher Term leistet die Hauptarbeit, um die Drohne wieder auf genau 2 m zu bringen?

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Mika: Moment. Nach dem Abwurf muss die Drohne also eine Weile etwas zu hoch schweben? Das ist der Fehler, aus dem der Haufen wieder umlernt!

Flieg den Einsatz

Jede Änderung an einem Schieberegler startet den Einsatz neu, und der vorherige Flug bleibt als Geist stehen. Die kleine s-Ebene zeigt die nominellen Pole: Motorverzögerung und Filter sind drin, nur Rauschen, Paket und Grenzen bleiben draußen. So siehst du das lineare Bild, während daneben der echte, chaotische Flug passiert. Hol dir alle sechs Sterne für Gold.

Die Grenzen sind das, was ein Lieferkunde bemerken würde: eingeschwungen innerhalb von 3 s, nie mehr als 10 % zu hoch, von der Böe nicht mehr als eine Handbreit (20 cm) verschoben, 2 s nach dem Abwurf wieder da, nie am Boden schrammen und Motoren, die nicht brummen (unter 0,5 N Rattern).

Für den Ankunftsstern muss die tatsächliche Höhe ab der Ankunft bis zur Böe bei 6 s innerhalb von ±5 cm bleiben; einmaliges Kreuzen von 2 m zählt nicht. Der Stern für ruhige Motoren nutzt die Standardabweichung des Schubs von 3 bis 6 s, nach dem Start und vor der Böe: die typische Schwankung um den Mittelwert, einschließlich spätem Einpendeln und Sensorrauschen. Zeig auf eine Zeile der Checkliste (oder spring mit Tab hin), dann werden die Sekunden schattiert, die sie bewertet.

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June: Ich hab im Kopf den perfekten Regler eingestellt: riesiges $K_d$ , winzigster Filter, damit D sofort reagiert. Bei Windstille ist er makellos! Schaut her…

June: …warum kreischen die Motoren? Die orange Linie ist nur noch Fussel, und jetzt schwingt sie auch noch über!

Theo: Kapitel 11, Warnung 2: Ein großes $K_d$ und ein winziger Filter machen aus jedem Sensorzittern von 2 cm eine Schubspitze. Und die Spitzen werden viel öfter bei 0 N abgeschnitten als bei 20 N (die blasse orange Linie zeigt, was der Regler verlangt hat: Sieh, wie oft sie 0 N erreicht), also bringen sie einen schiefen Zusatzschub. Das ist das Überschwingen, dieselbe Drift nach oben, die wir in Kapitel 11 erwischt haben. Makellos war es nur, weil deine gedachte Windstille mit einem perfekten Sensor kam.

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Probier Junes Windstille-Einstellung und schau zu, wie der Stern „Motoren ruhig“ durchfällt. Dann verlängere den Filter auf 0,04 s und nimm $K_d$ runter auf etwa 7. Bei $K_d$ = 7 kommt sie in etwa 1,9 s an statt in Junes erträumten 1,3 s: Das ist der Preis für ruhige Motoren. Dieses Abwägen, Tempo gegen Rauschen und gegen Robustheit, ist Regelungstechnik.

June: Ein bisschen langsamer, und die Motoren hören auf zu kreischen. Abgemacht. In meinem Kopf war die Luft ruhig und der Sensor perfekt.

Rückblick

Mika: Am Anfang dachte ich, „stärker drücken“ repariert alles. Es ist genau umgekehrt, oder? Der meiste Ärger kam davon, zu stark auf alte oder verrauschte Informationen zu drücken. Ich bin froh, dass ich all die dummen Fragen gestellt hab. Keine davon war dumm.

Theo: Ich glaube der Laplace-Transformation endlich. Sie ist keine Nachschlagetabelle: Sie ist eine Sonde, die ein Signal fragt: „Wie viel $e^{st}$ steckt in dir?“ Und weil aus Steigungen ein Multiplizieren mit $s$ wird, wird aus Analysis Algebra. Die Pole sind dort, wo die Antwort explodiert: die $e^{st}$ , aus denen das System gebaut ist.

June: Und ich hab gelernt, dass „mehr“ nicht „besser“ ist: mehr Verstärkung, mehr Dämpfung, mehr $K_i$ , mehr Tempo. Es gibt immer eine Klippe, und gute Entwürfe halten Abstand von ihr. Außerdem: Immer an der Drohne ausprobieren.

Hier ist alles, was wir gebaut haben, von der Dusche bis zum Finale. Jede Blase führt zurück dorthin, wo sie entstanden ist.

Was wir herausgefunden haben

Rückkopplung: messen, was passiert ist, mit dem Ziel vergleichen, auf den Fehler reagieren (Kap. 0–1).
P-Regler drücken proportional zum Fehler, lassen aber ein Durchhängen übrig und wackeln, wenn sie stark sind (Kap. 2).
Ableitungen, Exponentialfunktionen und drehende Zahlen beschreiben, wie sich Dinge ändern: $e^{st}$ mit $s = \sigma + i\omega$ wächst oder schrumpft und wackelt (Kap. 3–7).
Die Laplace-Transformation macht aus Steigungen ein Multiplizieren mit $s$ , also wird aus Analysis Algebra (Kap. 9).
Die nicht gekürzten Pole einer Übertragungsfunktion markieren natürliche Bewegungen, die vom gewählten Eingang zum Ausgang sichtbar sind: links klingen sie ab, rechts wachsen sie (Kap. 10).
PID: I killt das Durchhängen, D bringt Dämpfung, und jeder Anteil verschiebt die Pole (Kap. 11).
Totzeit bringt Phasenverzug; Reserven sagen dir, wie weit du von der Klippe entfernt bist (Kap. 12).
Echte Hardware bringt Grenzen (Kap. 10), Verzögerung, die Phasenreserve kostet (Kap. 3 + Kap. 12), und Rauschen, das D verstärkt (Kap. 11), also sind gute Regler nicht nur schnell, sondern auch ruhig (Kap. 13).

Erklär es einem Freund

Zuerst dein Einsatz: Wie viele Sterne hast du geholt, und welcher war am schwersten? Sag laut, warum, bevor du weiterliest.

Mika: Bei mir war’s der Ruhe-Stern. Ich hab immer mehr D dazugegeben, um die Motoren zu beruhigen, und sie wurden nur lauter.

Der beste Test fürs Verstehen ist Erklären. Versuch vor jeder Antwort, deine Version laut zu sagen. Dann wähl die Erklärung, die am besten dazu passt.

Noch ein Bild: die Zustandsebene

Theo: Jedes Diagramm in diesem Kurs hat die Höhe über die Zeit gezeigt. Aber die Höhe allein verrät nicht, was als Nächstes passiert: Auf 2 m und steigend ist nicht dasselbe wie auf 2 m und fallend.

Zwei Zahlen legen die Zukunft fest: die Höhe, gemessen vom Ziel aus, $\Delta h$ , und das Tempo $v$ . Zusammen sind sie der Zustand der Drohne. Trag sie in eine Ebene ein, die Höhe nach rechts und das Tempo nach oben, und der ganze Flug wird zur Bahn eines einzigen wandernden Punkts.

Seine Regeln sind die Steigungen aus Kapitel 3, eine für jede Zahl: Die Höhe ändert sich mit dem Tempo, und das Tempo ändert sich mit der Beschleunigung aus der Gleichung von Kapitel 1. Wenn der Schwebeschub erledigt ist und obendrauf PD-Regelung $T = -K_p\,\Delta h - K_d\,v$ kommt, passen beide Regeln in eine Tabelle:

\frac{d}{dt}\begin{pmatrix}\Delta h\\ v\end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix}0 & 1\\ -\frac{K_p}{m} & -\frac{c+K_d}{m}\end{pmatrix}}_{A}\begin{pmatrix}\Delta h\\ v\end{pmatrix}

Diese Tabelle $A$ ist eine Matrix: Multiplizier sie mit dem Zustand, und heraus kommt die Geschwindigkeit des Zustands. Ihre obere Zeile sagt, dass sich die Höhe mit dem Tempo ändert; ihre untere Zeile ist Newtons Gesetz.

Erst tippen! Mit $K_p$ = 20 N/m und ohne D startet die Drohne 1 m zu tief und in Ruhe. Welche Bahn zeichnet ihr Zustand?

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June: Das ist die Spirale aus Kapitel 6! Und wenn ich $K_d$ über etwa 5,3 schiebe, streckt sich die Spirale und gleitet an zwei gestrichelten Linien entlang hinein.

Diese geraden Linien sind die Modi: Startest du genau auf einer, gleitet der Zustand geradewegs hinein, mit der eigenen Rate dieses Modus. Die Raten sind die besonderen Zahlen der Matrix, ihre Eigenwerte, zu finden dort, wo $\det(sI - A) = 0$ ist:

\det(sI - A) = s^2 + \frac{c + K_d}{m}\,s + \frac{K_p}{m} = 0

Mika: Das ist die Gleichung aus Kapitel 7! Die Eigenwerte sind die Pole. Dieselbe Drohne, ein neues Bild.

Und der Pol-Spielplatz aus Kapitel 10 hat die ganze Zeit heimlich Zustandsrückführung gemacht: $T = -K_p\,\Delta h - K_d\,v$ drückt auf beide Zahlen des Zustands, und mit der Wahl der zwei Verstärkungen haben wir beide Pole platziert. Gib dem Zustand mehr Zahlen (Neigung, Drehung, seitliche Position), und die Matrix wächst, aber die Idee bleibt: Die Eigenwerte sind die Pole, und wer den ganzen Zustand zurückführt, kann sie alle platzieren.

Noch ein Geständnis. Jede Regel in diesem Kurs ist eine Geraden-Regel, aber echte Dinge sind krumm. Der Schub eines Propellers wächst mit dem Quadrat seiner Drehzahl, $T = k\,w^2$ . Nahe am Schweben ist die Kurve fast gerade, also tauschen wir sie gegen ihre Tangente am Schwebepunkt, das Lineal aus Kapitel 3:

T \approx T_0 + 2k\,w_0\,\Delta w

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Theo: Die geraden Linien waren also nie gelogen. Sie sind ein herangezoomtes Bild: ehrlich nahe am Schweben, umso schlechter, je weiter du dich entfernst. Deshalb brauchte unsere Mathematik die Drohne in der Nähe von 2 m.

Neue Wörter

Zustand: Die Zahlen, die die Zukunft festlegen: bei unserer Drohne Höhe und Tempo. Ein Punkt in der Zustandsebene.
Matrix $A$: Eine Zahlentabelle, die aus dem Zustand seine Geschwindigkeit macht.
Eigenwerte: Die besonderen Raten einer Matrix, dort, wo $\det(sI - A) = 0$ ist. Für das $A$ einer Drohne sind es ihre Pole.
Linearisieren: Eine krumme Regel nahe dem Punkt, der dich interessiert (hier das Schweben), durch ihre Tangente ersetzen.

Wie es weitergeht

Du weißt jetzt mehr über Regelungstechnik, als die meisten Menschen je zu Gesicht bekommen. Hier geht der Weg weiter, jede Station ein neues Notizheft:

Wurzelortskurve: Statt Pole zu ziehen, ziehst du an der Verstärkung und schaust zu, wie die Pole Bahnen zeichnen. Du würdest auf einen Blick sehen, welches $K_p$ zu viel ist.
Zustandsraumregelung: Oben hast du schon einen ersten Vorgeschmack bekommen. Viele Sensoren und Motoren gleichzeitig: Eine echte Drohne muss Neigung, Drehung und Position zusammen halten, und das Einstellen Knopf für Knopf funktioniert nicht mehr.
Digitale Regelung: Echte Regler laufen auf Computern, die alle paar Millisekunden abtasten. Auch Abtasten ist eine kleine Verzögerung, und die s-Ebene bekommt eine Cousine, die z-Ebene.
Kalman-Filter: mischen, was ein Modell vorhersagt, mit dem, was der Sensor sagt. So kannst du einen verrauschten Sensor ohne langsamen Filter nutzen.
Smith-Prädiktoren und modellprädiktive Regelung: Regler, die eine kleine Simulation in sich tragen, um um Verzögerungen herumzuschauen: das eigentliche Heilmittel für die Dusche.
Nichtlineare und robuste Regelung: was tun, wenn der Luftwiderstand nicht linear ist oder die Drohne in 3D fliegt, und wie man beweist, dass man trotzdem noch Reserve hat.

Theo: Zuerst die Wurzelortskurve. Ich will zusehen, wie die Pole wandern, während ich an einem Knopf drehe.

Wenn dich das nächste Mal eine Dusche zwischen kochend und eiskalt tanzen lässt, weißt du genau, was los ist. Und du weißt, dass es nicht deine Schuld ist. Es ist die Phasenreserve.

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