Warum Exponentialfunktionen magisch sind

Multiplizieren, immer wieder

Theo: Letztes Mal ist der Abstand des Kaffees zur Zimmertemperatur mit einem Tempo geschrumpft, das proportional zum Abstand selbst war. Großer Abstand, schnelles Schrumpfen. Kleiner Abstand, langsames Schrumpfen. Welche Kurve macht so was?

June: Kapitel 3 hat schon einen Hinweis gegeben. Jeder kleine Schritt hat den Abstand mit derselben Zahl multipliziert. Fangen wir also mit der einfachsten Multipliziermaschine überhaupt an: dem Verdoppeln.

Nimm etwas, das sich jede Sekunde verdoppelt. Nach 1 s hast du 2. Nach 2 s 2 × 2 = 4. Nach 3 s 2 × 2 × 2 = 8. Wir schreiben das als $2^t$: Das kleine t oben zählt, wie oft wir mit 2 multiplizieren.

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Zieh die Sekunden unter null oder auf eine halbe Sekunde. Null Sekunden heißt: noch gar nicht verdoppelt, also $2^0 = 1$. Eine Sekunde zurück macht ein Verdoppeln rückgängig: $2^{-1} = \tfrac12$. Und eine halbe Sekunde muss eine Zahl sein, die zweimal angewendet ein Verdoppeln ergibt: $\sqrt2 \approx 1{,}41$, denn 1,41 × 1,41 ≈ 2.

Mika: Der Exponent muss also gar keine ganze Zahl sein. Er heißt einfach „wie viel schon multipliziert wurde“, und das kann ein bisschen sein, ganz viel oder sogar negativ.

Hier sind diese Verdopplungen als Leiter aus Balken. Teil jeden Schritt in Hälften, dann in Viertel, dann in winzige Scheibchen, und schieb die Lupe herum:

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Mika: Egal, wo ich die Lupe hinstelle: Der Schritt wächst um denselben Anteil seiner eigenen Höhe. Hohe Balken wachsen viel, kurze wenig, aber immer um denselben Anteil.

Theo: Genau das ist die Eigenschaft vom Kaffee: Die Änderung ist proportional dazu, wie viel da ist. Und schaut auf die letzte Anzeige. Je kleiner die Schritte, desto näher kommt Zuwachs ÷ Höhe pro Sekunde an eine Zahl heran, beim Verdoppeln etwa 0,69. Merkt euch das.

Wachsen in winzigen Schritten

Mika: $e^t$ hab ich schon in Schulbüchern gesehen. Ist $e$ nicht einfach irgendeine Zahl, die Mathematiker mögen? 2,718-irgendwas, egal.

June: Lasst uns nicht streiten. Bauen wir eine Wachstumsregel und schauen, welche Zahl dabei rauskommt.

Die Regel lautet: Wachse pro Sekunde um 100 % von dem, was du hast. Die faule Art, ihr zu folgen, ist ein Riesenschritt: Nach 1 s hast du 1 + 1 = 2. Aber das ist Junes Riesenschritt-Trick aus Kapitel 3. Die ganze Sekunde lang haben wir das Wachstumstempo vom Anfang benutzt, obwohl der Haufen immer größer wurde.

Also kleinere Schritte. Zwei Schritte zu 50 %: 1,5 × 1,5 = 2,25. Vier Schritte zu 25 %: 1,25 × 1,25 × 1,25 × 1,25 ≈ 2,44. Jeder Schritt lässt einen Haufen wachsen, der schon gewachsen ist.

Mika: Mehr Schritte, mehr Wachstum! Mit unendlich vielen Schritten kriegen wir unendlich viel. Ich werde reich.

Erst tippen! Teil die Sekunde immer weiter: tausend Schritte, eine Million, so viele du willst. Was passiert mit der Summe nach einer Sekunde?

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Mika: Es hängt fest! Hundert Schritte, tausend, und es kommt nie über 2,718. So viel zu meinem unendlichen Vermögen.

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Diese Obergrenze ist die Zahl $e$. Auf sie laufen die Schritte zu, wenn sie unendlich klein werden:

Theo: Jetzt stell das Widget auf Schrumpfen. Mit $\left(1 - \frac1n\right)^n$ landet es bei $1/e \approx 0{,}368$: 36,8 % bleiben übrig, also sind 63,2 % des Wegs geschafft. Das sind die 63 % vom Zeitkonstanten-Lineal aus Kapitel 3!

June: Und das ist mein Kaffee! Teil ein τ in n Handschritte, $\Delta t = \tau/n$: Jeder Schritt multipliziert den Abstand mit $1 - \frac1n$, also ist der Abstand nach einem τ nur noch $\left(1 - \frac1n\right)^n$ von dem, was er war. Ein Riesenschritt ($n = 1$) landet genau auf Zimmertemperatur. Winzige Schritte lassen 36,8 % übrig.

Eine Kurve, die sich selbst kopiert

Jetzt gehen wir mit dem Lineal auf die Jagd. Wir suchen eine Kurve, deren Steigung an jedem Punkt ein festes Vielfaches ihrer Höhe ist. Laut der Leiter sollte jede Exponentialfunktion $b^t$ passen: $2^t$, $3^t$ und ihre Freunde. Leg an jede Kurve eine Tangente und teil ihre Steigung durch ihre Höhe.

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Zieh den Cursor an einer Kurve entlang, und die Anzeige Steigung ÷ Höhe rührt sich nicht. Jede Exponentialfunktion kopiert sich selbst, skaliert mit einer festen Zahl. Für Basis 2 ist diese Zahl etwa 0,693 (die Zahl, auf die die schrumpfenden Schritte der Leiter zuliefen). Für Basis 3 ist sie etwa 1,099.

Und für genau eine Basis ist die Skalierungszahl 1, sodass die Steigungskurve genau auf der Kurve selbst liegt. Welche Basis ist das?

Mika: Es ist schon wieder 2,718! Dieselbe Zahl, die uns die winzigen Schritte geliefert haben. Zwei völlig verschiedene Jagden, eine Zahl. Okay, ich nehm alles zurück: $e$ ist überhaupt nicht zufällig.

Theo: Natürlich ist es dieselbe. „Wachse pro Sekunde glatt um 100 % von dem, was du hast“ heißt Steigung = Höhe. Das ist ein Wunsch in zwei Verkleidungen.

Schneller machen: e^(at)

Echte Systeme ändern sich nicht alle gleich schnell. Bauen wir also einen Knopf in den Exponenten ein: $e^{at}$. Die Zahl a dehnt oder staucht die Zeit.

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Jetzt ist Steigung ÷ Höhe überall auf der Kurve genau a. Stell dir vor, warum: $e^{at}$ ist der Film von $e^{t}$, a-mal schneller abgespielt, also ist jede Steigung a-mal steiler. Positives a: Sie wächst (und zwar immer schneller). Negatives a: Sie schrumpft Richtung null, wie der Abstand beim Kaffee. a = 0: Sie bleibt einfach, wo sie ist.

Der Knopf und die Basis sind zwei Ansichten derselben Sache: $e^{at} = \left(e^{a}\right)^{t}$. Jede Sekunde multipliziert sich die Kurve mit $e^{a}$.

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Erst tippen! Nimm die Steigung von $e^{2t}$ und dann die Steigung dieser Steigung. Was kommt raus?

Theo: Moment, das ist riesig. Bei Exponentialfunktionen wird aus dem Nehmen einer Steigung (Analysis) ein Multiplizieren mit a (einfache Algebra).

Eine Exponentialfunktion raten

Bei einer Regel, in der die Steigung einfach feste Zahlen mal die Größe selbst ist (nichts im Quadrat, keine Zahlen, die sich mit der Zeit ändern), wie bei unserer Kaffeeregel, können wir eine Exponentialfunktion versuchen: einsetzen und schauen, welcher Wert von a die Regel erfüllt. Andere Regeln brauchen vielleicht andere Formen.

Die Kaffeeregel war $\frac{dT}{dt} = -\frac{T - 20}{\tau}$ mit τ = 10 min. Unser Tipp ist $T = 20 + 70\,e^{at}$ (70 ist der Anfangsabstand). Dreh an a, bis die Steigung des Tipps zu dem passt, was die Regel verlangt.

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Die Algebra stimmt mit dem Schieberegler überein. Die Steigung des Tipps ist $a \cdot 70e^{at}$ (die 20 ändert sich nie, also ist ihre Steigung 0, und die 70 fährt einfach mit). Die Regel will $-70e^{at}/\tau$. Das $70e^{at}$ steht auf beiden Seiten und kürzt sich weg:

Theo: Und sie landet genau auf den Punkten, die wir in Kapitel 3 von Hand gebaut haben. Exponentialfunktion-Raten funktioniert. Die Gleichung, die a festlegt, heißt charakteristische Gleichung.

Die Feder macht unseren Trick kaputt

June: Probieren wir’s an etwas, das federt. Eine Masse an einer Feder ist im Grunde unsere Drohne mit P-Regler: Sie wird umso stärker zurückgezogen, je weiter sie vom Ziel weg ist.

Die Feder zieht mit der Kraft $-kx$ zurück. Kraft = Masse × Beschleunigung, und die Beschleunigung ist die Steigung der Steigung (Kapitel 3). Die Regel lautet also:

Rate $x = e^{at}$. Die Steigung der Steigung ist $a^2 e^{at}$, also $m a^2 e^{at} = -k e^{at}$. Kürze $e^{at}$:

Mit k/m = 4 brauchen wir eine Zahl, deren Quadrat −4 ist. Such eine:

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Theo: Quadrate sind nie negativ. Die blaue Parabel kommt nie runter bis zur grünen Linie. Es gibt also kein solches a. Unser Trick versagt: Federn lassen sich einfach nicht mit Exponentialfunktionen beschreiben.

Mika: Aber die Feder ist doch da und federt fröhlich vor sich hin. Sie hat eine Bewegung. Vielleicht ist nicht die Feder falsch, sondern unsere Vorstellung davon, was eine Zahl ist?

Theo: …Hm. Ich geb zu, ich hab „keine Zahl“ ein bisschen schnell gesagt. Jede Zahl, die ich kenne, ergibt zum Quadrat etwas Positives.

Was wir bis jetzt wissen

Die Drohne und die Feder wackeln. Exponentialfunktionen können nur wachsen oder schrumpfen. Es sei denn… eine Zahl könnte zum Quadrat etwas Negatives ergeben?