Kapitel 7

Der wahre Charakter der Drohne

Warum federt die Drohne wie eine Sprungfeder?

Kapitel 7: Der wahre Charakter der Drohne ↗

Der Regler ist eine Feder

Mika: June hat gefragt, wo unsere Drohne auf der Karte wohnt. Ein Hinweis: Erinnert ihr euch an die hüpfende Drohne aus Kapitel 2? Je weiter wir $\eff{K_p}$ aufgedreht haben, desto mehr hat sie gewippt. Sah genau aus wie ein Gewicht an einer Feder.

Theo: „Sah aus wie“ ist kein Beweis. Stellen wir beide nebeneinander und schreiben beide Gleichungen auf.

Links: eine Masse von 0,5 kg an einer Feder mit Dämpfer (ein kleiner ölgefüllter Kolben, der sich gegen Bewegung sträubt). Rechts: unsere Drohne, gleiche Masse, gleicher Luftwiderstand, mit Proportionalregelung.

Schreiben wir zuerst jede Kraft auf die Masse auf, eine nach der anderen. Wir messen ihre Position $x$ ab der Ruhelage, nach oben positiv.

Die Feder zieht zurück Richtung Ruhelage, umso stärker, je weiter sie gedehnt ist: $-\eff{k}\,x$ . Doppelt so weit gedehnt heißt doppelt so starker Zug.
Der Dämpfer drückt gegen die Bewegung, nicht gegen die Position: $-c\,\dot{x}$ . Im Stillstand tut er nichts. Bei schneller Bewegung drückt er kräftig zurück. ( $\dot{x}$ ist das Tempo aus Kapitel 3.)
Die Schwerkraft verschiebt nur die Ruhelage ein bisschen nach unten. Wenn wir ab der Ruhelage messen, ist sie erledigt.

Kraft = Masse × Beschleunigung, und Beschleunigung ist die Steigung der Steigung (Kapitel 3). Zähl die Kräfte zusammen und bring alles auf eine Seite:

m\,\ddot{x} = -\eff{k}\,x - c\,\dot{x} \quad\Longrightarrow\quad m\,\ddot{x} + c\,\dot{x} + \eff{k}\,x = 0

Mika: Der Dämpfer ist also im Grunde Luft, die Tempo hasst?

Theo: Ziemlich genau. Und bei unserer Drohne ist der Dämpfer die Luft.

Im Widget ist der orange Pfeil an der Masse der Zug der Feder, der graue der Druck des Dämpfers. Schau, wie der Pfeil des Dämpfers verschwindet, sobald die Masse oben oder unten beim Schwingen kurz stillsteht.

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June: Die Kurven liegen genau übereinander. Nicht ähnlich. Identisch.

Schau dir die zwei Gleichungen an. Die Feder drückt mit der Kraft $\eff{k}\,x$ zurück: Je weiter sie gedehnt ist, desto stärker zieht sie. Unser Regler drückt mit $\eff{K_p}(\sp{2} - \out{h})$ : Je weiter vom Ziel weg, desto stärker drückt er. Dieselbe Regel. Der Regler ist eine Feder: eine unsichtbare, die die Drohne Richtung 2 m zieht.

Theo: Ein P-Regler ist also eine virtuelle Feder, und der Luftwiderstand $c$ ist ein virtueller Dämpfer. Alles, was wir über Federn lernen, gibt’s gratis dazu.

Zwei Charakterknöpfe

Jedes Feder-Masse-Dämpfer-System, und damit jede Drohne mit P-Regler, wird durch nur zwei Zahlen beschrieben. Erarbeiten wir sie uns eine nach der anderen.

Wie schnell: die Eigenkreisfrequenz

Nimm den Dämpfer weg, und wir sind zurück in Kapitel 6: Die Feder schwingt wie $\cos(\omega t)$ mit $\omega = \sqrt{k/m}$ . Dieses Tempo nennen wir die Eigenkreisfrequenz $\omega_n$ : wie schnell das System schwingen will, wenn nichts es bremst.

\omega_n = \sqrt{\frac{\eff{k}}{m}} \qquad\qquad \text{eine volle Schwingung alle } \frac{2\pi}{\omega_n} \text{ s}

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Mika: Steifere Feder, schnelleres Schwingen. Dann dreh ich $\eff{k}$ einfach voll auf, und alles wird besser!

Eine steifere Feder zieht stärker, also schwingt sie schneller. Eine schwerere Masse lässt sich schwerer herumschubsen, also schwingt sie langsamer. (Radiant pro Sekunde ist das Drehtempo aus Kapitel 5: Eine volle Umdrehung sind 2π Radiant, ein Rand von 2π Radien Länge.)

Theo: Vorsicht. In Kapitel 2 hat mehr $\eff{K_p}$ die Drohne schneller und hüpfiger gemacht. Hören wir erst, was der Dämpfer dazu sagt.

Wie federnd: der Dämpfungsgrad

Jetzt bauen wir den Dämpfer wieder ein. Wie viel Dämpfung ist „viel“? Das hängt von der Feder ab: Ein Dämpfer, der eine weiche Feder bändigt, bremst eine steife kaum. Also vergleichen wir mit einer besonderen Menge, der kritischen Dämpfung $c_{\text{krit}}$ : der kleinsten Dämpfung, die das Überschwingen ganz verhindert.

c_{\text{krit}} = 2\sqrt{m\,\eff{k}} \qquad\qquad \zeta = \frac{c}{c_{\text{krit}}} = \frac{c}{2\sqrt{m\,\eff{k}}}

Der Dämpfungsgrad ζ (der griechische Buchstabe Zeta) ist unsere Dämpfung als Bruchteil davon. Eine reine Zahl, ohne Einheit. ζ = 0 schwingt ewig, ζ = 1 ist genau kritisch, und ζ = 0,5 hat halb so viel Dämpfung, wie nötig wäre, um das Überschwingen zu verhindern.

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June: Moment. 0,16? Das ist genau das ζ der Drohne aus dem ersten Widget!

Theo: Gleiche Masse, gleicher Luftwiderstand, gleiche Steifigkeit, also gleiches ζ. Feder und Drohne sind wirklich Zwillinge.

Die zwei Punkte auf der Karte

Jetzt zurück zur Karte von $s$ . Raten wir wie in Kapitel 4 und 6 $x = e^{st}$ , dann wird aus der Gleichung $m s^2 + c s + k = 0$ . Teil durch $m$ und schreib die zwei Koeffizienten mit unseren Knöpfen:

s^2 + \underbrace{\frac{c}{m}}_{2\zeta\omega_n}\, s + \underbrace{\frac{\eff{k}}{m}}_{\omega_n^2} = 0

Theo: Moment mal. Wo kommt dieses $2\zeta\omega_n$ her? Das sieht ausgedacht aus.

June: Rechne es aus: $2\zeta\omega_n = 2 \cdot \frac{c}{2\sqrt{mk}} \cdot \sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{c}{m}$ . Es ist dieselbe Zahl, nur umbenannt, damit unsere zwei Knöpfe in der Gleichung auftauchen.

Löse sie mit der Mitternachtsformel, und heraus kommen die zwei Werte von $s$ :

\begin{aligned} & s^2 + 2\zeta\omega_n\, s + \omega_n^2 = 0 \\ \Longrightarrow\quad & s = -\zeta\omega_n \pm \omega_n\sqrt{\zeta^2 - 1} \end{aligned}

Woher das ± kommt

Jede Gleichung $s^2 + b\,s + q = 0$ lässt sich per quadratischer Ergänzung lösen: $(s + b/2)^2 = b^2/4 - q$ . Eine Quadratwurzel hat zwei Antworten, eine mit + und eine mit −, also gibt es immer zwei Werte von $s$ :

s = -\frac{b}{2} \pm \sqrt{\frac{b^2}{4} - q}

Mit $b = 2\zeta\omega_n$ und $q = \omega_n^2$ steht unter der Wurzel $\omega_n^2(\zeta^2 - 1)$ . Für ζ < 1 ist das negativ, und wir brauchen das $i$ aus Kapitel 5: Die zwei Antworten werden ein Spiegelpaar, $-\zeta\omega_n \pm i\,\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$ . Bei ζ = 1 ist die Wurzel genau null, und die zwei Antworten treffen sich. Daher kommt $c_{\text{krit}} = 2\sqrt{mk}$ : Das ist die Dämpfung, bei der die Wurzel verschwindet.

Das ±-Zeichen liefert zwei Antworten, eine für jeden Punkt. Die Links-rechts-Lage eines Punkts ist σ (Sigma): wie schnell dieser Teil der Bewegung schrumpft. Seine Höhe ist ω: wie schnell er sich dreht. Bei einer Dämpfung unter 1 liegen die Punkte waagerecht gleich, aber auf entgegengesetzten Höhen. Bei 1 treffen sie sich; darüber liegen beide auf der waagerechten Achse.

Neue Wörter

Sprungantwort: Wie ein System auf einen plötzlichen Sprung seines Ziels antwortet, hier von 0 auf 1 m. Die übliche Art, einen Charakter zu zeigen.
Einschwingzeit (2 %): Wie lange es dauert, bis die Antwort für immer innerhalb von 2 % um das Ziel bleibt.

Spiel mit den zwei Knöpfen. Achte auf die blauen Punkte auf der Karte: Das sind die zwei Werte von $s$ , und zusätzlich zu der Höhe, auf der sie zur Ruhe kommt, ist die Bewegung eine Mischung aus $e^{s_1 t}$ und $e^{s_2 t}$ . (Bei genau ζ = 1 sind die zwei Punkte einer, und die zweite Zutat wird zu $t\,e^{s_1 t}$ .)

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Neue Wörter

Unterdämpft ( $\zeta < 1$ ): Die zwei $s$ -Werte sind ein Spiegelpaar abseits der reellen Achse und sitzen auf einem Kreis mit Radius $\omega_n$ . Die Antwort schwingt über und wackelt, während sie zur Ruhe kommt.
Kritisch gedämpft ( $\zeta = 1$ ): Das Paar trifft sich auf der reellen Achse als ein doppelter Punkt, also ist die Bewegung $(A + B\,t)\,e^{-\omega_n t}$ . Die schnellste Antwort ohne Überschwingen.
Überdämpft ( $\zeta > 1$ ): Das Paar teilt sich auf der reellen Achse auf: Einer wandert nach links, einer kriecht Richtung null. Kein Überschwingen, aber träge.

In den unterdämpften Punkten steckt noch ein Detail: Ihre Höhe ist $\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$ , ein bisschen weniger als $\omega_n$ . Dämpfung lässt das Wackeln nicht nur schrumpfen, sie bremst es auch ein wenig. Das ist die gedämpfte Eigenkreisfrequenz $\omega_d$ , und das Widget zeigt sie an.

\omega_d = \omega_n\sqrt{1 - \zeta^2}

Mika: Die Spiralen aus Kapitel 6 waren also die ganze Zeit der Charakter der Drohne. Drehen = Wackeln, Schrumpfen = zur Ruhe kommen!

Ist mehr Dämpfung immer besser?

June: Einfach. Wackeln ist schlecht, und Dämpfung killt Wackeln. Also stell ich sicherheitshalber $\zeta = 5$ ein. Sicherste Drohne aller Zeiten.

Erst tippen! Gleiche Feder, gleiches $\omega_n$ . Wir erhöhen die Dämpfung von $\zeta = 1$ auf $\zeta = 3$ . Erreicht sie das Ziel schneller oder langsamer?

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June: Meine „sichere“ Drohne braucht ewig. Als würde sie sich durch Honig bewegen.

Mika: Schaut auf die Karte! Ein Punkt ist nach links abgehauen, superschnell. Aber der andere sitzt ganz nah bei null.

Theo: Und $e^{st}$ mit $s$ nah bei null klingt sehr langsam ab. Der schnelle ist im Nu weg. Der langsame hat das Sagen.

Jede $e^{st}$ -Zutat der Bewegung heißt Modus (Mehrzahl: Modi). Die Bewegung ist eine Mischung aus Modi, und sobald die schnellen abgeklungen sind, bleibt nur der langsamste übrig. Bei dieser Sprungantwort bestimmt also der langsamste Modus, der tatsächlich vorkommt, die lange Wartezeit.

Zu wenig Dämpfung heißt Wackeln, zu viel heißt Kriechen. Dazwischen liegt ein Sweet Spot. Nimm im Rennen ζ = 0,7: Es schwingt um weniger als 5 % über, kommt aber viel früher auf 5 % ans Ziel heran als ζ = 1. Viele Entwürfe zielen auf ζ zwischen etwa 0,7 und 1 und tauschen ein kleines Überschwingen gegen Tempo. Andere Aufgaben bevorzugen vielleicht eine andere Balance.

Zurück zur Drohne

Jetzt ergibt Kapitel 2 endlich Sinn. Bei unserer Drohne ist die Federkonstante die Verstärkung:

\omega_n = \sqrt{\frac{\eff{K_p}}{m}}, \qquad \zeta = \frac{c}{2\sqrt{m\,\eff{K_p}}}

$\eff{K_p}$ steht unten in der Dämpfungsformel. Mehr Verstärkung macht die Drohne schneller (größeres $\omega_n$ ), aber weniger gedämpft. Mit $\eff{K_p} = 20$ N/m: $\zeta = 1/(2\sqrt{0{,}5 \times 20}) \approx 0{,}16$ . Sehr hüpfig, genau wie wir gesehen haben. Auf der Karte sitzen ihre zwei $s$ -Werte weit oben und nur ein kleines Stück links der senkrechten Achse. Dort wohnt unsere Drohne.

Theo: Und mehr Dämpfung kriegen wir nur, wenn wir $\eff{K_p}$ stark runterdrehen, und dann ist das Durchhängen wieder da. Wir brauchen einen Weg, Dämpfung absichtlich hinzuzufügen.

Zieh an der Verstärkung und sieh den Zielkonflikt in einem Satz:

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Pfeile haben eine Länge und einen Winkel

Mika: Moment. Die Punkte sitzen auf einem Kreis mit Radius $\omega_n$ , und ζ schiebt sie nur darauf herum. Ein Punkt ist also eigentlich zwei Dinge: wie weit von 0 weg und in welche Richtung.

Jeden Pfeil $z = a + b\,i$ (Realteil entlang, Imaginärteil seitlich) kann man auch andersherum beschreiben: durch seine Länge $|z|$ und seinen Winkel. Die Länge liefert Pythagoras. Bei einem Pfeil nach rechts ( $a > 0$ ) ist der Winkel derjenige, dessen Steigung (hoch durch rüber) $b/a$ ist. Er heißt Arkustangens, $\arctan$ : der Rückgängig-Knopf des Tangens.

|z| = \sqrt{a^2 + b^2}, \qquad \angle z = \arctan\frac{b}{a} \quad (a > 0)

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Kapitel 5 hat gezeigt: Pfeile multiplizieren heißt ihre Längen multiplizieren und ihre Winkel addieren. Teilen muss das rückgängig machen, also teilt es die Längen und subtrahiert die Winkel.

Theo: Also $1/(1+i)$ : Länge $1/\sqrt 2$ , und der Winkel ist 45° plus 45°, also 90°? Hm. Multiplizier das zurück mit $1+i$ , und es zeigt auf 135°, meilenweit von 1 entfernt.

June: Dann eben minus. $1/\sqrt 2$ lang bei −45°. Mal $\sqrt 2$ bei +45°, und heraus kommt Länge 1 bei 0°: genau 1. Passt.

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Der blasse gestrichelte Pfeil ist der Spiegelzwilling $\bar z = a - b\,i$ aus Kapitel 6 (in der Mathematik heißt er die konjugiert komplexe Zahl): gleiche Länge, entgegengesetzter Winkel. Multiplizier einen Pfeil mit seinem Zwilling, und die Winkel heben sich auf. Übrig bleibt eine schlichte positive Zahl, die Länge zum Quadrat. Genau das braucht die Tabelle in Kapitel 9:

z\,\bar z = |z|^2 = a^2 + b^2, \qquad (s - i\omega)(s + i\omega) = s^2 + \omega^2

Und der Kreis? Ein Pol bei $-\zeta\omega_n + i\,\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$ hat die Länge $\omega_n$ . Miss seinen Winkel θ zur negativen reellen Achse, dann ist der Teil nach links $\omega_n\cos\theta$ . Also $\zeta = \cos\theta$ : Die Dämpfung ist der Winkel.

June: Probiert die zweite Einstellung im Widget: 1 + iωτ. Das ist die Kaffeeregel aus Kapitel 3, die auf ein Wackeln trifft. Teilen dadurch staucht und dreht zurück, immer stärker, je schneller das Wackeln wird, aber nie über eine Vierteldrehung hinaus. Wetten, dass das die Dusche interessiert?

Neue Wörter

Länge (Betrag) $|z|$: Wie lang ein Pfeil ist: $\sqrt{a^2+b^2}$ für $z = a + b\,i$ . Pfeile multiplizieren multipliziert ihre Längen.
Winkel $\angle z$: In welche Richtung ein Pfeil zeigt, gemessen von der positiven reellen Achse. $\arctan(b/a)$ für einen Pfeil nach rechts. Multiplizieren addiert Winkel, Teilen subtrahiert sie.
Spiegelzwilling $\bar z$: Der Pfeil, an der reellen Achse gespiegelt: $a - b\,i$ (die konjugiert komplexe Zahl). $z\,\bar z = |z|^2$ .

Was wir jetzt wissen

Was wir herausgefunden haben

Eine Drohne mit P-Regler gehorcht genau derselben Gleichung wie eine Masse an einer Feder: Der Regler ist eine virtuelle Feder.
Zwei Zahlen fassen ihren Charakter zusammen: $\omega_n$ (wie schnell) und $\zeta$ (wie hüpfig).
$\omega_n = \sqrt{k/m}$ ist das Schwingtempo ohne Dämpfer. $\zeta = c/c_{\text{krit}}$ vergleicht die Dämpfung mit der kritischen Dämpfung $2\sqrt{mk}$ , die das Überschwingen gerade verhindert.
Die Bewegung ist eine Mischung aus zwei $e^{st}$ -Termen. Die zwei $s$ -Werte sitzen bei Unterdämpfung auf einem Kreis mit Radius $\omega_n$ und teilen sich bei Überdämpfung auf der reellen Achse auf.
Ein Pfeil hat eine Länge und einen Winkel ( $\arctan$ ). Multiplizieren multipliziert die Längen und addiert die Winkel; Teilen teilt und subtrahiert. $\zeta = \cos\theta$ .
Dämpfung bremst das Wackeln auch ein wenig: $\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$ .
Mehr Dämpfung ist nicht immer besser: Ab $\zeta = 1$ kriecht der langsame $s$ -Wert Richtung null, und alles wird langsamer.
Bei der Drohne heißt mehr $K_p$ weniger Dämpfung. Deshalb wurde sie wackeliger.

Theo: „Wir haben uns zu diesen $s$ -Werten durchgeraten. Nimm Schwerkraft, Wind, Pakete und einen schlaueren Regler dazu, und das Raten wird hässlich. Gibt es eine Maschine, die diese Analysis in schlichte Algebra verwandelt?“

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