Kapitel 12

Zurück unter die Dusche

Warum haben wir geschwungen, und wie nah sind wir an der Kante?

Die Dusche, mit neuen Augen

June: Ich hab unseren Drohnen-PID an die Dusche gehängt (dasselbe zackige Gefühl, umgerechnet auf Knopfeinheiten). Sie schwang heiß, kalt, heiß… genau wie Mika in Kapitel 0. Die Drohne hat so was nie gemacht!

Theo: Die Drohne hat keine große Verzögerung. Die Dusche hat 2,5 Sekunden Rohr. Finden wir endlich heraus, was eine Verzögerung anrichtet.

Die Dusche hat zwei langsame Teile: das Rohr, eine reine Totzeit von 2,5 s, und den Glätter (Fachwort: PT1-Glied): Duschkopf und Rohrwände wärmen sich mit der Zeitkonstante aus Kapitel 3 auf, $\tau = 1$ s (nach 1 s sind 63 % des Abstands zu einer neuen Temperatur geschafft).

Zuerst ein Geständnis zur „normalen Hand“ aus Kapitel 0. Sie hat den Knopf mit einem Tempo gedreht, das proportional dazu war, wie falsch sich das Wasser anfühlte: Knopftempo $= k\cdot\err{e}$ , mit $k = 0{,}8\,\%$ des Knopfs pro Sekunde pro °C. Ein Tempo proportional zum Fehler heißt: Die Knopfstellung ist der Haufen vergangener Fehler. Das ist ein I-Regler, mit $K_i = k$ .

Mika: Moment, ich war in Kapitel 0 also ein PID-Regler? Na ja, ein I-Regler. Ein übereifriger.

Verzögerung ist ein Nachhinken im Wackeln

Theo: Ich finde immer noch, eine Verzögerung macht einfach alles langsamer. Instabil machen dürfte sie eigentlich nichts.

Betrachten wir zuerst nur die reine Totzeit des Rohrs. Stell dir vor, am Rohreingang läuft eine Sinuswelle hinein und erreicht den Duschkopf ohne Glättung: Am Ausgang hat sie dieselbe Form, nur 2,5 s später. Wie groß ist dieser Versatz im Vergleich zu einer ganzen Schwingung?

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Theo: Moment. Bei einem 5-Sekunden-Wackler kommt das heiße Wasser genau dann an, wenn der Knopf kalt verlangt. Das ist nicht langsamer. Das ist verkehrt herum.

Die Totzeit des Rohrs bleibt bei 2,5 s, doch ihr Phasenverzug hängt davon ab, wie schnell die Welle schwingt. Nennen wir den Versatz $\phi$ und die Verzögerung $L$ . Dauert ein Wackler $T$ Sekunden (hier ist $T$ eine Zeit, keine Temperatur), dann beträgt seine Kreisfrequenz $\omega=2\pi/T$ Radiant pro Sekunde. Ein positiver Verzug heißt, dass der Ausgang dem Eingang hinterherläuft. Ingenieure schreiben einen Verzug als negativen Winkel, deshalb gehen die Diagramme unten nach unten.

Ein ganzer Wackler ist eine volle Umdrehung des Drehpfeils aus Kapitel 5: 360° oder 2π Radiant. Es kommt also darauf an, welchen Anteil eines Wacklers die Verzögerung abdeckt: $L/T$ .

\phi = \underbrace{\frac{L}{T}}_{\text{Anteil eines Wacklers}}\cdot 360^\circ = \omega L \text{ Radiant},\qquad \omega = \frac{2\pi}{T}

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Bei einem 5-Sekunden-Wackler sind 2,5 s ein halber Wackler: 180°. Im Modell der reinen Totzeit trifft jeder Wellenberg am Ausgang auf ein Wellental am Eingang. Der Glätter der Dusche staucht schnelle Wackler zusätzlich; den nehmen wir als Nächstes dazu.

Mika: Dieselben 2,5 s sind also ein Stupser für einen trägen Wackler und eine volle Umkehr für einen schnellen. Das Rohr ändert sich nie. Der Wackler schon!

Die Sonde sieht die Totzeit

Die Sonde aus Kapitel 8 liefert denselben Faktor für jedes Signal, nicht nur für einen Drehpfeil. Ein Signal, das $L$ Sekunden zu spät ankommt, fängt auch $L$ Sekunden zu spät an, Fläche anzuhäufen, und bis dahin ist die Sonde schon um $e^{-sL}$ geschrumpft. Bevor es ankommt, ist das späte Signal null, also setz $u = t - L$ :

\int_0^\infty f(t-L)\,e^{-st}\,dt = \int_0^\infty f(u)\,e^{-s(u+L)}\,du = e^{-sL}\,F(s)

Eine reine Totzeit multipliziert also jede Transformierte mit $e^{-sL}$ . Das ist ihre Übertragungsfunktion, und auf der Linie $s = i\omega$ ist das genau das Zurückdrehen um $\omega L$ von oben.

Theo: Aber $e^{-sL}$ ist kein Bruch aus Polynomen. Wo sind seine Pole?

June: Nirgends, wo man sie auflisten könnte. Steck es in einen Kreis, und $1 + C\,P = 0$ hat unendlich viele Lösungen. Deshalb zeichnet dieses Kapitel keine Polkarten mehr, sondern misst Wackler.

Die Dusche vermessen, ein Wackler nach dem anderen

Jetzt nehmen wir zur Totzeit des Rohrs den Glätter hinzu. Duschkopf und Rohrwände brauchen Zeit, um warm zu werden, also verzögert die ganze Dusche Änderungen am Knopf und glättet sie. Unser Plan: Wir wackeln mit dem Knopf in einem Tempo, warten auf einen gleichmäßigen Rhythmus und messen zwei Zahlen:

Verstärkung (dasselbe Wort wie bei der Reglerverstärkung: Größe raus ÷ Größe rein): wie groß das Temperaturwackeln ist, verglichen mit dem Wackeln in der Wassermischung, die wir verlangt haben.
Phase: wie weit es hinterherhinkt, als Winkel: sein Anteil an einem ganzen Wackler, mal 360°.

Jede Messung setzt einen Punkt in zwei Diagramme. Miss mindestens fünf Tempi, langsame und schnelle.

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Das gestauchte Lineal

In diesen Diagrammen ist jedes ×10 ein gleich großer Schritt auf der Achse: Von 0,1 bis 1 braucht genauso viel Platz wie von 1 bis 10. Die Mitte zwischen 0,1 und 1 liegt bei etwa 0,3, nicht bei 0,55. Das Lineal ist gestaucht, damit ein 100-Sekunden-Wackler und ein 3-Sekunden-Wackler ins selbe Diagramm passen. Schau dir die Verstärkung des Glätters auf diesem Lineal an: flach für langsame Wackler, dann eine fast gerade Linie abwärts für schnelle, mit einem Knick nahe $\omega = 1/\tau$ .

June: Gleiche Schritte sind gleiche Faktoren, nicht gleiche Summanden. Wie die Oktaven auf einem Klavier!

Das gestauchte Lineal hat noch ein zweites Geschenk: Auf ihm wird Multiplizieren zu Addieren. ×10 ist immer ein Schritt nach oben, egal wo du anfängst, und ×0,1 ein Schritt nach unten. Deshalb ist auch die Verstärkungsachse gestaucht. Im Kreis multiplizieren sich die Verstärkungen (Hand × Glätter × Rohr), also addieren sich ihre Höhen auf diesem Lineal einfach, genau wie ihre Phasenverzüge. Das ist der Logarithmus aus Kapitel 4 bei der Arbeit: $\ln(a\,b) = \ln a + \ln b$ .

Der Glätter staucht schnelle Wackler, während das Rohr immer mehr Phasenverzug hinzufügt. Die Verstärkungs- und Phasenkurven über dem Wackeltempo bilden ein Bode-Diagramm. Zusammen sind sie der Frequenzgang der Dusche: wie sie jedes Wackeltempo behandelt. Hier ist der Eingang die Temperatur des gemischten Wassers, deshalb haben langsame Wackler die Verstärkung 1. Bei der Knopfstellung als Eingang wäre sie 45-mal größer. Um den Frequenzgang aus der Formel zu bekommen, setz $s = i\omega$ : derselbe Trick, mit dem wir die Kante in Kapitel 11 gefunden haben. (Das klappt, weil die Dusche für sich allein stabil ist. Ihre Wackler pendeln sich also auf einen gleichmäßigen Rhythmus ein, den wir messen können.)

Was der Glätter mit einem Drehpfeil macht

Theo: Wieder der Trick aus Kapitel 4: Raten wir, dass die Antwort derselbe Drehpfeil ist, nur mit anderer Größe und anderem Winkel.

\tau\,\dot y + y = u,\quad u = e^{i\omega t},\ y = Y\,e^{i\omega t} \;\Rightarrow\; (1 + i\omega\tau)\,Y = 1 \;\Rightarrow\; Y = \frac{1}{1+i\omega\tau}

Setz den Drehpfeil $e^{i\omega t}$ in die Regel des Glätters ein, dann muss der Pfeil $Y$ die Gleichung $(1 + i\omega\tau)\,Y = 1$ erfüllen. Die Pfeile aus Kapitel 7: $1 + i\omega\tau$ hat die Länge $\sqrt{1+\omega^2\tau^2}$ und zeigt im Winkel $\arctan(\omega\tau)$ nach oben. Teilen durch ihn staucht um diese Länge und dreht um diesen Winkel zurück. Langsame Wackler merken kaum etwas. Schnelle werden gestaucht und hinken fast eine Vierteldrehung hinterher, aber nie mehr.

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G(i\omega) = \frac{e^{-i\omega L}}{1 + i\omega\tau}, \qquad |G| = \frac{1}{\sqrt{1+\omega^2\tau^2}}, \qquad \angle G = -\arctan(\omega\tau) - \omega L

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June: Gefunden! Nahe 0,95 rad/s stellt die Dusche allein einen Wackler auf den Kopf. Merkt euch dieses Tempo.

Wie nah an der Klippe?

Jetzt schließen wir den Kreis: Hand → Knopf → Rohr → Haut → Hand. Folg einem Wackler einmal ganz herum. Für die Hand aus Kapitel 0 ist die Runde durch den Kreis $G_{\circ}$ (ein kleiner Kreis für den Kreis, weil $L$ schon die Verzögerung ist):

G_{\circ}(s) = \underbrace{\frac{k}{s}}_{\text{Hand}}\cdot\underbrace{\frac{45\,e^{-2{,}5s}}{s+1}}_{\text{Dusche}}

Die Rückkopplung zieht ab (Fehler = Ziel − Temperatur). Das ist ein ×(−1), die halbe Drehung aus Kapitel 5, also dreht sich die Welle einmal um. Wenn die Runde durch den Kreis sie zusätzlich um genau 180° verzögert, heben sich die zwei Umdrehungen auf. Dann kommt jede Korrektur perfekt im Takt mit dem Schwung an, wie beim Anschubsen einer Schaukel im genau richtigen Moment. Bringt der Kreis die Welle in voller Größe zurück (Verstärkung 1), hält sich der Schwung von selbst am Laufen; bei mehr als 1 wächst er. Das ist wieder $1 + C\,P = 0$ aus Kapitel 10, auf der Linie $s = i\omega$ : Eine Runde, die umgedreht und in voller Größe zurückkommt, ist $G_{\circ}(i\omega) = -1$ .

June: Bei diesem einfachen Duschkreis durchläuft die Phase −180° bei einem wichtigen Wackeltempo. Finde es im Phasendiagramm und lies dann bei demselben Tempo die Kreisverstärkung im Verstärkungsdiagramm ab. Liegt sie unter oder über 1?

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Schieb, bis die Summe 180° überschreitet, zwischen 0,45 und 0,46 rad/s. Genau am Übergang, bei etwa 0,457 rad/s, kommt der Schwung 0,72-mal so groß zurück. Die Hand könnte also etwa 1 ÷ 0,72 ≈ 1,4-mal stärker sein, bevor sie die Kante erreicht.

Neue Wörter

Amplitudenreserve: Mit welchem Faktor du die Reglerverstärkung multiplizieren könntest, bevor die Kreisverstärkung beim −180°-Tempo 1 erreicht. Unter 1 = über die Klippe.
Phasenreserve: Beim Tempo, bei dem die Kreisverstärkung genau 1 ist: wie viel zusätzliches Nachhinken es bräuchte, um −180° zu erreichen. Mehr ist sicherer; 45°–60° ist ein übliches Ziel (der Abstecher unten sagt, warum).

Bei unserer Dusche erreicht die Phase von $G_{\circ}$ bei $\omega \approx 0{,}457$ rad/s −180°, eine Wackelperiode von etwa 13,8 s. Die normale Hand ( $k = 0{,}008$ ) hat eine Amplitudenreserve von nur etwa 1,4 und eine Phasenreserve von etwa 22° (wo ihre Kreisverstärkung 1 ist, bei 0,34 rad/s, liegt die Phase bei −158°). Knapp an der Kante! Die eifrige Hand verdoppelt die Verstärkung: 1,4 ÷ 2 = 0,7, über die Klippe. Genau deshalb kam sie nie zur Ruhe.

Erst tippen! Angenommen, das Rohr wäre doppelt so lang (5 s Verzögerung). Was passiert mit der größten Handverstärkung, die noch stabil ist?

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Mika: Doppeltes Rohr, etwa halbe Hand. Und die Schwünge an der Kante werden auch langsamer: fast 24 Sekunden!

Theo: Okay, ich nehm’s zurück. Eine Verzögerung macht nicht einfach alles langsamer: Sie frisst Phasenreserve, und die Phasenreserve ist das Einzige, was zwischen dir und einer Schwingung steht.

Deine Dusche aus Kapitel 0, erklärt

Hier ist dein eigener Lauf aus Kapitel 0. Wenn deine Schwünge nah an der Kante waren, sollte ihre Periode nah an dem liegen, was der Kreis vorhersagt. Mit einem Haken: Menschen sind nicht alle dieselbe Art Regler.

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Eine Tempo-Hand (dreht den Knopf, solange es sich falsch anfühlt) ist ein I-Regler: Ihre Kante liegt bei Schwüngen von 13,8 s. Eine Stellungs-Hand („zu heiß, Knopf hierhin“) verhält sich wie ein P-Regler: $G_{\circ}(s) = 45K\,e^{-2{,}5s}/(s+1)$ . Eine Stellungs-Hand hat keinen Haufen, also auch keine eigenen 90°: Rohr und Glätter allein müssen 180° erreichen, und das passiert bei einem schnelleren Wackler, $\omega \approx 0{,}95$ rad/s (Junes Auf-den-Kopf-Tempo). Das heißt Schwünge von 6,6 s, für jedes $K$ über etwa 0,031 Knopf pro °C. Die meisten Menschen sind eine Mischung. (Die normale Roboterhand schwingt etwas langsamer als 13,8 s, etwa 15,5 s, weil sie knapp innerhalb der Kante sitzt; die Schwünge der eifrigen Hand, etwa 11,6 s, werden gestaucht, weil der Knopf an seine Anschläge stößt.)

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Mika: Als ich den Knopf direkt auf eine Stelle gerissen hab, war ich also eine Stellungs-Hand. Meine Sechs-Sekunden-Schwünge kamen vom Rohr und vom Glätter, nicht von ungeschickten Fingern.

Bau eine Roboterdusche

Jetzt wollen wir unsere eigenen Hände schlagen. Der Roboter nutzt PI: P reagiert auf den aktuellen Temperaturfehler, I merkt sich den angesammelten Fehler. So reagiert der Knopf sofort, während I die dauerhafte Einstellung findet.

June: Einfach. Ich nehm große Verstärkungen, wie bei der Drohne: schnell und zackig. Sind schon eingestellt. Pass auf!

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June: …sie pendelt, heiß–kalt–heiß, alle 6 Sekunden, wie eine Stellungs-Hand in Kapitel 0. Große Verstärkungen haben das Tempo, bei dem die Kreisverstärkung 1 ist, über das −180°-Tempo hinausgeschoben. Überhaupt keine Phasenreserve.

Theo: Die Drohne hat große Verstärkungen vertragen, weil sie fast kein Nachhinken hatte. Hier heißt robust sanft: Lass Reserve für die Verzögerung. Probier meine sanften Verstärkungen, ungefähr $K_p \approx 1$ und $K_i \approx 0{,}6$ .

P reagiert auf das Jetzt, I auf den Haufen. Ein bisschen Jetzt dazu bewegt den Knopf ein bisschen früher, und das gibt Phase zurück: Phasenvorsprung, etwa 37° beim alten −180°-Tempo mit Theos Verstärkungen.

Ein PI-Regler mit guter Reserve ist in etwa 9,4 Sekunden angenehm, ohne wiederholte große Schwingungen. Das schlägt die normale Hand (die fast eine Minute geschwungen hat, bevor sie sich beruhigte) und die meisten Menschen. Die Physik schlagen kann er aber nicht: Nichts kann auf Wasser reagieren, das noch nicht angekommen ist. Für lange Verzögerungen haben Ingenieurinnen und Ingenieure einen Trick, den Smith-Prädiktor, der eine kleine Simulation des Rohrs im Regler laufen lässt. Aber das ist eine Geschichte für ein anderes Notizheft.

Robustheit ist die eigentliche Lektion. Dein Modell der Dusche ist nie perfekt: Das Rohr ist vielleicht länger, die Heizung schwächer. Eine Reserve sagt, wie falsch das Modell sein darf, als Zahl, die man spüren kann. Die Phasenreserve (in Radiant) geteilt durch das Tempo mit Kreisverstärkung 1 ist eine Totzeitreserve: wie viele Sekunden zusätzliches Rohr der Kreis verkraftet.

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Theo: Die normale Hand verkraftet nur etwa 1,1 s zusätzliches Rohr. Mein sanfter Roboter verkraftet 3,5 s. Das heißt robust.

Was wir jetzt verstehen

Was wir herausgefunden haben

Eine Verzögerung $L$ lässt einen Wackler um $\omega L$ nachhinken: nichts bei langsamen Wacklern, viel bei schnellen.
Ein Haufen (I) lässt jeden Wackler um 90° nachhinken, ein Glätter um bis zu 90°, ein Rohr um $\omega L$ , ohne Grenze.
Sinuswellen einspeisen und Verstärkung und Phase messen ergibt den Frequenzgang; aufgezeichnet ist das ein Bode-Diagramm, und es ist einfach $G(i\omega)$ .
In diesem einfachen Duschkreis beginnt eine anhaltende Schwingung, wenn die Kreisphase −180° bei Verstärkung 1 erreicht; bei größerer Verstärkung wachsen die Schwingungen, bis Grenzen eingreifen.
Amplituden- und Phasenreserve messen den Abstand zu dieser Klippe. Längere Verzögerung heißt weniger Reserve, also brauchst du eine sanftere Regelung.
Unsere Schwünge aus Kapitel 0 kamen von einem Regler (uns) mit zu wenig Reserve.

Jetzt haben wir alle Werkzeuge: Rückkopplung, PID, Pole, Reserven. Zeit für den echten Test: Wind, ein abgeworfenes Paket und ein verrauschter Sensor. Schaffst du es, die Drohne auf 2 m zu halten?

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