Kapitel 6

Die Karte von s

Wie wird aus einer drehenden Zahl ein echtes Wackeln, und wie sieht jedes s aus?

Zurück zur Feder (und ein neuer Fehler)

June: Letztes Mal haben wir eine Zahl gebaut, die sich dreht. Geben wir sie der Feder und schauen wir, ob sie sich benimmt.

Die Feder brauchte $a^2 = -k/m = -4$ . Probier $a = 2i$ : $(2i)^2 = 4\,i^2 = -4$ . ✓ Und $a = -2i$ klappt auch.

Theo: Gut, ich lag falsch. Der Exponential-Rate-Trick überlebt. Die Feder ist $e^{2it}$ , ein Dreher, der alle… 2π Sekunden zweimal herumläuft.

Mika: Die Position der Feder ist also $e^{2it}$ ? Gerade ist sie bei… $0{,}4 + 0{,}9i$ Metern?

June: Eine Feder kann nicht 0,9 Meter seitlich sein. Sie bewegt sich nur hoch und runter.

Mika hat die andere Lösung vergessen. Wir haben zwei gefunden, $e^{2it}$ und $e^{-2it}$ : einen Dreher und seinen Spiegelzwilling, der andersherum läuft. Zähl sie zusammen:

Kapitel 6: Die Karte von s ↗

Mika: Die seitlichen Teile heben sich perfekt auf! Die Summe gleitet nur auf der reellen Achse hin und her.

x(t) = \tfrac12\left(e^{i\omega t} + e^{-i\omega t}\right) = \cos(\omega t),\qquad \omega = \sqrt{k/m}

Warum ist der Zwilling immer da? In der Regel der Feder stehen nur reelle Zahlen ( $m$ und $k$ , kein $i$ ). Spiegle eine Lösung von oben nach unten, sodass aus jedem $i$ ein $-i$ wird, und die Regel merkt keinen Unterschied: Das Spiegelbild ist auch eine Lösung. Bei allem Echten kommen die Dreher also in Spiegelpaaren. Zusammen heben sich ihre seitlichen Teile auf, und übrig bleibt ein echtes Wackeln, das wir messen können.

Die Karte von s

Kapitel 4 hat uns Exponentialfunktionen gegeben, die wachsen oder schrumpfen. Jetzt haben wir Dreher, die wackeln. Bauen wir beides zusammen: $e^{st}$ mit $s = \sigma + i\omega$ .

e^{st} = e^{(\sigma + i\omega)t} = \underbrace{e^{\sigma t}}_{\text{wachsen/schrumpfen}}\cdot\underbrace{e^{i\omega t}}_{\text{drehen}}

Jede Zahl s ist also ein Rezept: σ (der Teil entlang) sagt, wie schnell es wächst oder schrumpft, ω (der seitliche Teil) sagt, wie schnell es sich dreht. Zusammen zeichnen sie eine Spirale, und der Schatten der Spirale ist das Signal, das wir sehen würden.

Erst tippen! Setz s auf $-0{,}5 + 3i$ . Wie sieht der Schatten von $e^{st}$ aus?

Kapitel 6: Die Karte von s ↗

Mach einen Rundgang über die Karte, indem du s ziehst (oder die Pfeiltasten nimmst):

Linke Hälfte (σ < 0): Die Spirale schrumpft, das Wackeln klingt ab.
Rechte Hälfte (σ > 0): Die Spirale wächst, das Wackeln explodiert.
Auf der senkrechten Linie (σ = 0): ein perfekter Kreis, ein Wackeln, das ewig weitergeht.
Auf der waagerechten Linie (ω = 0): überhaupt kein Drehen, nur die schlichten Exponentialfunktionen aus Kapitel 4.
Weiter weg von der waagerechten Linie (nach oben oder unten): schnelleres Drehen, schnelleres Wackeln. Weiter links: schnelleres Abklingen.

June: Ein einziger Punkt auf dieser Karte ist also ein ganzer Charakter: wie schnell es wackelt und ob es sich beruhigt oder explodiert.

Ein kurzer Abstecher: Alles besteht aus Drehern

Eine letzte Überraschung. Nimm Dreher mit verschiedenen Tempi (1-, 3-, 5-, 7-mal so schnell…), schrumpf jeden genau richtig, lass ihn beim genau richtigen Winkel starten und zähl dann ihre Schatten zusammen. Mit genug davon kannst du eine riesige Vielfalt an Formen bauen, sogar eine Rechteckwelle mit scharfen Ecken.

Kapitel 6: Die Karte von s ↗

Fourier zeigte, wie sich viele periodische Signale aus drehenden Teilen zusammensetzen lassen. Die Rechteckwelle ist ein Beispiel: Mehr Teile machen die flachen Abschnitte und scharfen Kanten deutlicher. Diese Beschreibung ist mächtig, hat aber Bedingungen und Grenzen, die wir später erkunden können.

Was wir bis jetzt wissen

Was wir herausgefunden haben

Echtes Wackeln kommt von Spiegelzwilling-Drehern, deren seitliche Teile sich aufheben.
$e^{st}$ mit $s = \sigma + i\omega$ dreht sich und wächst oder schrumpft: eine Spirale. Ihr Schatten ist ein wachsendes oder abklingendes Wackeln.
Die Karte von s: links beruhigt sich alles, rechts explodiert es, weiter oben wackelt es schneller.
Viele periodische Signale, sogar eine Rechteckwelle, lassen sich durch Zusammenzählen von Drehern mit verschiedenen Tempi bauen (Fourier). Direkt neben einem Sprung schießt die Summe immer um etwa 9 % über.

June: „Und wo auf dieser Karte wohnt unsere Drohne?“

Kapitel 6: Die Karte von s ↗